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由反射系数确定多层介质厚度 蔡钧 (扬州大学工学院电子工程系，扬州 225009) 摘 要 本文讨论了测量多层介质厚度的一种新方法。根据输入电磁波反射系数， 用最优化方法反演出每层介质的厚度。 关键词 无损检测；最优化；电磁波 1. 前言 在工业生产和产品质量检测中，常常需要在无损的条件下测出由多层介质构成的工件 的每层厚度，从而确定是否符合设计要求。如何根据电磁信息确定介质特性一直是微波无 损检测中重要课题之一。 目前，单层均匀介质特性的微波测量理论及方法都已比较成熟，但对于多层介质其测 量方法还在不断的探索之中，文献1提出了一种较为新颖的方法。但是，该方法需要将被 测介质置于同轴线中，然后用时域特性测量仪测出被测介质的时域特性参数，从而确定出 介质特性。在实际使用中有一定的局限性。由于电磁波的反射系数和多层介质的结构有着 确定的关系，故反射系数中包含着多层介质各层的厚度信息。据此本文讨论了由反射系数 反推多层介质的各层厚度的方法：根据多层介质的反射系数，采用最优化方法解非线性方 程，从而反演出多层介质的各层厚度。这种方适法用性强，具有一定的实用性。 2.模型 多层介质复合体结构如图 1 所示。设被测介质无耗，呈 n 层分布，每层介质的介电常 数为 n , n- 1 , 2 , 1，每层厚度为 dn , dn- 1 , d2 , d1，二侧为空气。 n+1 n n-1 2 1 0 空气 空气 dn dn-1 d2 d1 0 n n- 1 2 1 0 图 1 假设一平面波电磁波从第 n 层一侧垂直入射。由于第 0 层空气介质厚度很厚，当平面 电磁波穿过第 1 层介质进入第 0 层介质后，不会再产生反射，所以，除第 0 层外其余各层 的各个分界面上都将产生多次反射，在每层介质中都有二个波：入射波和反射波。现要确 定第 n 层和空气介质（第 n+1 层）分界处的反射系数和多层介质结构之间的关系。 由于层内存在着多次反射，若直接由入射波确定反射系数则十分复杂。这里采用另一 种方法，首先确定第 n 层处的输入阻抗，然后再求出反射系数。Zin n 当只存在二个介质层时（图 2a），这时分界面处的反射系数为： ZZ ZZ in in 0 1 0 1 其中 ZZ in 0 0 现在再假定其中又有另一个介质层（图 2b）。这时这层上的反射系数为： ZZ ZZ in in 1 2 1 2 其中 Z ZjZd ZjZd Z ZjZd ZjZd Z in in in 1 0 111 1 0 11 1 0111 1011 1 tan() tan() tan() tan( 从上式可看出：只要已知某层介质的后界面上的阻抗、层内阻抗及层的厚度，则可以 求出该层前界面上的阻抗和反射系数。 1 0 2 1 0 Z1 Z0 Z2 Z1 Z0Zin 0 Zin 1 Zin 0 图 2a 图 2b 所以按照以上关系进行递推，第 n 层介质和第 n+1 层处的反射系数为： ZZ ZZ in n n in n n 1 1 其中 Z ZjZd ZjZd Z in nin n nnn nin n nn n 1 1 tan() tan() 以上方程式中 i i Z 0 ii f 2 0 如果以知各层介质的介电常数和厚度，利用上述关系就可确定总的反射系数。而现在 的问题是已知端面反射系数，如何确定各层介质的厚度（各介质层为电介质且介电常数已 知）。 3.算法 由上面推导出的反射系数和介质层厚度的关系，从反射系数反推各层介质厚度属于一 维反演问题，最终可归结为求解一组非线性微分方程，其求解方法很多，但是都需要进行 求导运算，且需要较多的已知信息（测出多个频率点上的反射系数），使求解过程复杂， 降低了其实用性。因此，必须寻找比较简单的计算方法。 在实际检测中，通常是已知各层介质的近似厚度，所需要求解的问题不会偏离该厚度 太远。根据这一情况，可假设一组厚度的近似初值，代入上述递推公式中，求出一反射系 数值，将它与实际测量到的反射系数进行比较，如果存在差异，采用最优化方法对初值进 行修正，反复叠代，直至计算值和实测值相等（实际为二者之差小于某一给定值），此时 修正后的初值即为所需求的各层介质的厚度。从而，可将求解非线性方程问题转化为最优 化解问题。 模式搜索法是一种多变量函数的直接优化法。该方法不需要计算目标函数的导数，只 要问题是可计算的。其优化过程是由二类移动组成：一类是为了探索有利方向的探索性移 动；另一类是沿着有利方向采取加速移动的模式移动。整个寻查从初始点开始，先以一定 步长沿各变量方向作探索移动，寻找目标函数的下降方向，对各变量的探索移动结束后， 在 N 维空间中便得到一个点。若该点的函数值小于初始基点的函数值，则在寻查空间便产 生一个向量，它指向目标函数的下降方向，于是结束探索移动，从初始基点开始沿该方向 作较大步长的模式移动，产生新的参考点。然后在新参考点周围再进行探索，如此进行下 去，直至找到极小点或达到规定的迭代次数为止。 因此，若实际测出的反射系数值为：1=A+jB。由一组厚度值计算出的反射系数值为： 2=a+jb。设置目标函数 Y=|A-a|+|B-b|， 采用模式搜索法对厚度值进行反复叠代，直 至计算值和实测值相等（实际为 Y 值小于某一常数）为止，此时的厚度值即为所需求的各 层介质的厚度。 4. 模拟 测试样品由介电常数分别为1 =5.5，2 =3.3，3 =6.2三种介质组成，将这三种 介质分别组合成二种三层复合介质，用同轴线模拟平面电磁波对多层介质的入射情况。将 复合介质置于终端接匹配负载的同轴线中，工作频率均为 5G，测出反射系数，按上述方法 进行计算，结果如表 1、表 2 所示。 表 1 测试值和计算值比较结果一 表 2 测试值和计算值比较结果二 实 际 值优化初始值计 算 结 果 d1d2d3123 反射系数 （测试值）d1d2d3d1d2d3 2.2 cm 3.1 cm 3.9 cm 5.53.36.2 0.44144 .4 2.0 cm 3.0 cm 4.0 cm 2.21 cm 3.07 cm 3.95 cm 实 际 值优化初始值计 算 结 果 d1d2d3213 反射系数 （测试值）d1d2d3d1d2d3 3.1 cm 2.2 cm 3.9 cm 3.35.56.2 0.31128 .6 3.0 cm 2.0 cm 4.0 cm 3.09 cm 2.18 cm 3.86 cm 从以上计算结果可看出，计算结果和实际厚度值合较好，最大相对误差最大为 1.2%。 如果已知介质的近似厚度（即表中的“初始值”），根据反射系数可计算出多层介质的厚 度值。 5结语 结果表明，本算法计算精度较高，需要的信息量少，若提高反射系数的测量精度，则 计算误差还可进一步减小。 参考文献 1 崔铁军，梁昌洪。分层介质的无损测量方法。无损检测，1994，10：275 2 布列霍夫斯基赫著。分层介质中的波。杨训仁译。北京：科学出版社，1960 3 席少霖，赵风治。最优化计算方法。上海：上海科学技术出版社，1983 DETERMINING THIEKESS OF MULTI-LAYERD MEDIUM BY ELECTROMAGNETIC WAVE REFLECTION COEFFICIENT. Cai Jun (Dept of Electreon Engin , Engin coll , Yangzhou Univ , yangzhou ,225009) Abstract The new method for measurement of multi-layerd medium is presented in this paper.The thiekess of eac