半导体激光器设计理论I._速率方程理论3_突变同型异质结的库莫(Kumer)理论.doc

半导体激光器设计理论I. 速率方程理论 (郭长志, LT1-1C3.doc, 11 Oct. 2007)1.2-2 突变同型异质结的库莫(Kumer)理论13, 14, 5 真空能级 - + c2 F2 c1 F1 DEc dc2 Ec2Ec1 qeVD qeVD2 Fc2Fc1 qeVD1 dc1 EF Eg1 Eg2Ev1 DEv n N Ev2图1.2-5(a) n-N同型异质结未接触前能带图 同型异质结积累区的空间电荷分布和电势分布，除了可以求解泊松方程得出之外，还可以由归一化势能积分得出。从而可以准解析地得出其两边的内建电场F和总电荷Q。 对于如图1.2-5(a) 所示的n-N结其带阶为：(1.2-2a)(1.2-2b)这里的 Dc 0是由于定义 c1 和 c2 分别是窄带隙和宽带隙的电子亲和势。1.2-2A n-N同型异质结 在无偏压的平衡情况下内建势能为： (1.2-2c) (1.2-2c)图1.2-5(b) n-N同型异质结导带能带图分析其中后两式采用了非简并统计近似。由(1.2-2c,b)，远离结区的带边之差分别为： (1.2-2d) (1.2-2e)电荷密度分布为： (1.2-2f)电势方程为：(1.2-2g)泊松方程为： (1.2-2h)n-和N-半导体接触并达到平衡时,其能带图将如图1.2-5(b)所示。加偏压Va= Va1 + Va2后： (1.2-2i) (1.2-2j) (1.2-2k) (1.2-2l) (1.2-2m) (1.2-2n) (1.2-2o) (1.2-2p) (1.2-2q)即将电势 j 的泊松方程化为归一化势能 b 的泊松方程。1 结的左边（x1 x x0）积累区：(1.2-2r)(1.2-2s)(1.2-2t) (1.2-2u) (1.2-2v) (1.2-2w) (1.2-2x) (1.2-2z)2 结的右边（x0 x x2）准耗尽区： (1.2-2z) (1.2-2aa) (1.2-2ab) (1.2-2ac)(1.2-2ad) (1.2-2ae) (1.2-2af)联立： (1.2-2ag)和(1.2-2i)： (1.2-2ah)并利用平衡时的解： (1.2-2ai)即可解出Va1和Va2。 (1.2-2aj) (1.2-2ak)3 场连续性： (1.2-2al)得出： (1.2-2am)4 电中性：(1.2-2an)图1.2-6(a) 半导体内1边的势能随距 b1m 3.0界面的距离的变化也得出：(1.2-2ao)联立： (1.2-2ap)解出 b1m 后再代回(1.2-2ap)，得出 b2m。 如已知 b1m，则对给定的一个x值，试用一系列的 b1值，使积分满足：(1.2-2aq)在一个L内的结果如图1.2-4(a)所示。从这样逐点算出的数据，即可得出相对于左边体内电图1.2-6(b) 左(1)边半导体内占总电荷的比率随距界面的距离的变化势 j(-) = j(x1) 的x点电势的值： (1.2-2ar)相对于体内导带边能量的x点的导带边能量为：(1.2-2as)左边x点的内建电场强度为： (1.2-2at)左边x点到结的交界面x0点的电荷为：(1.2-2au)它与左边总电荷量Q1的比值为： (1.2-2av)如左边半导体的内建电势Vd1比较小，则 b1m和 b1都将比较小，这时： (1.2-2aw)(1.2-2ax)图1.2-7(a) n-N同型异质结平衡能带图(功函数W1,2 F1,2)在Vd1小的条件下，这比值随(x - x0) / L1的变化如图1.2-6(b)所示。可见电荷在3L1内已达积累区总电荷的98.6 %。无偏压时的n-N和N-n-N同型异质结的能带图分别如图1.2-7(a) 至(e)所示。可见，对于突变同型异质结,在相同的条件下，将可能得出与欧哈姆-米纳斯理论7相同的结果。图1.2-7(b) N-n-N突变同型双异质结中的电子势能分布和能带图(W1,2 F1,2)图1.2-7(c) N-n-N突变同型双异质结中的空间电荷分布图1.2-7(d) N-n-N突变同型双异质结中空间电荷分布向离结方向的积分图1.2-7(e) N-n-N突变同型双异质结中的内电场分布1.2-2B 对有电流情况的推广1 内建电势的分配关系 库莫理论的主要成果是同型异质结内建电势在两边的分配关系： (1.2-2ba)库莫在其第二篇文章12中说它是在无电流情况导出的，在有电流时不成立。但其实，库莫在其第一篇文章11中所作如下定义中，已包含有外加偏压Va情况： (1.2-2bb) (1.2-2bc)上述电势在两边的分配关系是以隐函数的形式表为： (1.2-2bd)固然公式的右边与电流无关，但公式的左边将对不同的 bm得出不同的 b1m，从而得出不同的 b2m 。设无电流(无偏压)时为 bm0，b1m0，b2m0，有电流(有偏压)时为 bmj，b1mj，b2mj，则： (1.2-2be) (1.2-2bf) (1.2-2bg) (1.2-2bh)例如，对于Vd = 0.289, 当Va= 0时, b m0 =11.187, b1m0 = 5.087, b2m0 = 6.1, 得出 Vd1=0.131506, Vd2 = 0.174371；当Va = 0.1时，bm0 = 7.319，b1m0 = 4.247，b2m0 = 3.027，得出Va1 = 0.021715，Va2 = 0.077923。由于同型异质结中的内建电势比较低,电势分配关系(1.2-2bd)可以近似写成： (1.2-2bi)可见其与耗尽假设下得出的电势分配关系(1.1-1af)不同。2 完全耗尽层 假设半导体的右(2)边为完全耗尽层，则易由泊松方程积分得出 b2m与空间电荷区宽度ln2 (这时是有限的)之间的关系为： (1.2-2bj)这时，内建电势和外加电压的比值也化为： (1.2-2bk)3 极限情况当Vd2Vd，Va2Va，时，b2m bm，半导体1结中起金属作用，使这n-N同型异质结近似为金属-半导体结。因此可以把上述理论看成金属-半导体结的推广。4 简并情况假设半导体的1边是简并的，则： (1.2-2bl) (1.2-2bm) (1.2-2bn) (1.2-2bo) (1.2-2bp)令： (1.2-2bq) (1.2-2br) (1.2-2bs)c 是一定 h 范围内的一个常数，(1.2-2bq)中已对不同 h 范围内采用不同的c常数。利用半导体内部的电中性条件：在 x = x1，r = 0，b1 = 0，则得： (1.2-2bt) (1.2-2bu)积分(1.2-2bt)，并利用 得出积分常数，则得： (1.2-2bv) (1.2-2bw)最后,得出对给定半导体中距结面的距离x的b1的解式： (1.2-2bx)空间电荷区的总宽度xn在原则上可以由在(1.2-2bw)中令 b1 = 0定出，但即使在简并情况下仍将得出一个对数式发散，说明在半导体1中的空间电荷区没有明显的分界线。5 b1小情况下的积分I(b1，b1m) 为计算在 b1 小的下述积分： (1.2-2ca)令： (1.2-2cb)其中 b 是： (1.2-2cc)的一个解，作为一级近似解，取： (1.2-2cd)则对小的 b1： (1.2-2ce)由(1.2-2av)，在x0到x之间的电荷与总电荷之比为： (1.2-2cf)对于一个设定值 b1m 1，这给出在半导体1中离界面的L1内占有总电荷的83.3%的结果。6 窄带半导体1中电子亲和势随位置变化情况的处理假设：(1) 施主杂质全部电离，使得Nd1+ Nd1 。(2) 空穴对空间电荷的贡献可以忽略r qe(Nd1 - n)。(3) 受主掺杂可以忽略，Na1 0。(4) 电子浓度服从玻耳兹曼分布：。(5) 介电常数的变化可以忽略：e1(x) e1 = 常数。则如前进行并利用体内中性条件，得： (1.2-2cg) E c1 c1(x) c2 Ec2Ec1 Eg2 Eg1 Eg1(x)Ev1 Ev2 x10 x0=0 ln1 ln2 x1 x x2图1.2-8 线性缓变同型异质结示意图其中c1(x) 未知待定，但 c1(x1) = c1 = 半导体1体内的电子亲和势。令： (1.2-2ch)则除了(1.2-2mp)之外,可以把(1.2-2cg)重写成： (1.2-2ci)这似乎不可能得出普遍变化 q(x) 的解析解,但可以求出两个特殊情况的解：(a) 线性变化，如图1.2-8 所示： (1.2-2cj) (1.2-2ck) (1.2-2cl) (1.2-2cm) (1.2-2cn) (1.2-2co)， (1.2-2cp)，(1.2-2cq) (1.2-2cr) (1.2-2cs) (1.2-2ct) (1.2-2cu) (1.2-2cv) (1.2-2cw) (1.2-2cx)空间电荷区的宽度 ln1为： (1.2-2cy) (1.2-2cz)(b)抛物型变化：(1.2-2da)(1.2-2db) (1.2-2dc) (1.2-2de)(1.2-2df)(1.2-2dg)空间电荷区的宽度 ln1为： (1.2-2dh)这两种情况的积分由于没有奇点，ln1的解将为有限的。本讲学习重点 无论是异型还是同型异质结构的界面附近必然出现异号的空间电荷区，其电势导致能带边在这区间发生弯曲。这过程主要服从泊松方程，迄今已有三解法：在均匀电荷分布情况或假设下的简单二次积分法、微分方程数值解法、积分方程解法。本讲讨论的的库莫理论属第三法，其优点是能够确定同型异质结中内建电势和外加电压在结两边的分配比例，因而可以研究有偏压时的电流过程，而且可以推广到简并和缓变异质结构。学习重点是：一、以归一化势能 b 为基本参数的泊松方程表述及其积分方程解法。二、内建电势和外加电压在结两边的分配关系和比例的确定及其物理含义和应用。三、推广到简并和缓变同型异质结的方法及其与欧哈姆-米纳斯法的比较。习题作业三LT1-Ex.3.1(a) 试比较库莫与欧哈姆-米纳斯的理论和方法的异同、优缺点和适用范围。(b)试从数学上和物理上说明为什么缓变区的宽度可以改变和控制带阶尖峰和尖谷的形状。LT1-Ex.3.2(a) 在带隙和有效质量分别为Eg1 = 1.424 eV, mc1 = 0.067m0和Eg2X =2.168eV, mc2X= 0.78m0，其导带价带的带阶分别为 DEc = 0.4985eV和 DEv = 0.2455eV的GaAs和AlAs中，电子浓度N1和N2皆为51017cm-3，施主电离能皆为Ed=0.001eV，求所须掺入的施主浓度 Nd1和Nd2，及其相应的费米能级Fc1和Fc2。(b) 把它们组成n-N突变同型异质结，试用：(1)耗尽假设、(2)欧哈姆-米纳斯法、(3)库莫法，计算其能带图、以电场强度对上述(1)为0，或对(2)和(3)各区极大场强的10% 为准的空间电荷区宽度、空间电荷密度分布、和电场分布，并对结果进行定性和定量的分析比较。参考文献13 R. C. Kumer (Department of Mathematics, University of Manchester Institute of Science andTechnology, Manchester, England): “On the Solution of