第五章--线性拟合方法.ppt

第五章实验数据及模型参数拟合方法,第五章实验数据及模型参数拟合方法,第一节问题的提出,第一节问题的提出,在化工设计及化工模拟计算中，需要大量的物性参数及各种设备参数。这些参数有些可以通过计算得到，但大量的参数还是要通过实验测量得到。实验测量得到的常常是一组离散数据序列（xi,yi）。如果数据序列（xi,yi）(为一般起见),i=1,2,m,含有不可避免的误差（或称“噪声”，如图5-1所示），或者无法同时满足某特定的函数（如图5-2所示）,那么，只能要求所作逼近函数（x）最优地靠近样点，即向量Q=（(x1),(x2),(xm)）T与Y=(y1,y2,ym)T的误差或距离最小。按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。,第一节问题的提出,图5-1含有噪声的数据,图5-2无法同时满足某特定函数的数据序列,第一节问题的提出,除了物性数据及设备参数需要利用数据拟合外，在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术，求出最佳的模型和模型参数。如在某一反应工程实验中，我们测得了如表5-1所示的实验数据。,现在要确定在其他条件不变的情况下，转化率y和温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合实验数据，两种模型分别是,第一节问题的提出,如何求取上述模型中的参数，并判断两种模型的优劣,是化学化工工作者经常要碰到的问题，这个问题的求解将在本章下面的有关章节中进行详细的讲解。,第二节拟合的标准,第二节拟合的标准,前面已经提到按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数，而向量Q与Y之间的误差或距离有各种不同的定义方法，一般有以下几种。（1）用各点误差绝对值的和表示（2）用各点误差按绝对值的最大值表示（3）用各点误差的平方和表示,式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线。,第二节拟合的标准,第二节拟合的标准_实例1,实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸气压和温度的关系，见表5-2。,表5-2DME饱和蒸气压和温度的关系,由表5-2的数据观测可得，DME的饱和蒸气压和温度有正相关关系，如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函数是一条直线。通过计算均方误差Q(a,b),最小值而确定直线方程。,（见图5-3）,图5-3DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合,第二节拟合的标准_实例1,拟合得到直线方程为：相关系数R为0.97296，平均绝对偏差SD为0.0707。,拟合的标准实例2,如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差拟合得二次方程为相关系数R为0.99972，平均绝对偏差SD为0.00815,具体拟合曲线见图5-4。,图5-4DME饱和蒸气压和温度之间的二次拟合,拟合的标准实例2,比较图5-3和图5-4以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知：对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。二次拟合曲线具有局限性，由图5-4观察可知，当温度低于-30时，饱和压力有升高的趋势，但在拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看在拟合条件下的拟合效果，还必须根据物性的具体性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便使拟合公式在已做实验点数据之外应用。,第三节单变量拟合和多变量拟合,给定一组数据（xi,yi）,i=1,2,m，作拟合直线p(x)=a+bx,均方误差为,由数学知识可知，Q(a,b)的极小值需满足：,整理得到拟合曲线满足的方程：,5.3.1单变量拟合,1.单变量拟合线性拟合,1.单变量拟合线性拟合,该方程可用消元法或克莱姆方法解出方程（如下式所示）,单变量拟合线性拟合实例,例：下表为实验测得的某一物性和温度之间的关系数据，表中x为温度数据，y为物性数据。请用线性函数拟合温度和物性之间的关系。解：设拟合直线p(x)=a+bx,并计算得下表：,将数据代入法方程组（1-12）中，得到：解方程得：a=-1.5,b=1.5拟合直线为：,相关系数R为1。,单变量拟合线性拟合实例,线性拟合VB清单,PrivateSubCommand1_Click()Dimx(5),y(5),c,d,m,p,a,b,eerConstn=5Fori=1To5x(i)=InputBox(“x(i)=”)y(i)=InputBox(“y(i)=”)Print“x(i)=”;x(i)Print“y(i)=”;y(i)NextIc=0d=0m=0p=0,Fori=1To5c=c+x(i)d=d+x(i)2m=m+y(i)p=p+x(i)*y(i)Nextia=(m*d-c*p)/(n*d-c2)b=(n*p-c*m)/(n*d-c2)参数计算a=Int(a*1000+0.5)/1000b=Int(b*1000+0.5)/1000Text1.Text=Str(a)Text2.Text=Str(b)参数输出Fori=1To5eer=eer+(a+b*x(i)-y(i)2误差计算eer=Int(eer*100000+0.5)/100000Nextieer=eer/5Text3.Text=Str(eer)EndSub,有关线性拟合变型问题,例如要拟合y=a+b/x2，只需在数据输入后增加一语句x(i)=1/x(i)2，而在程序后面的误差eer的计算中则不需要修改。,2.单变量拟合二次拟合函数,给定数据（xi,yi),i=1,2,m,用二次多项式函数拟合这组数据。设,作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式,由数学知识可知，Q(a0,a1,a2)的极小值满足：,整理左式得二次多项式函数拟合的满足条件方程（5-14）：,(5-14),解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数p(x)。式（5-14）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟合多项式,n5时，法方程的系数矩阵是病态的，在用通常的迭代方法求解线性方程时会发散，在计算中要采用一些特殊算法以保护解的准确性。关于线性方程的求解方法，已在第三章中介绍。,2.单变量拟合二次拟合函数,3.二次拟合函数的拓展,和一次拟合一样，二次拟合也可以有多种变型，例如套用上面的公式，可以得到关于求解此拟合函数的法方程（5-15）。值得注意的是在此法方程的构建过程中，进行了变量的代换。首先是拟合函数中变量的代换:。,P(x)=a0+a1x3+a2x5,（5-15）,其次是法方程的代换：将相应拟合函数中的代换引入法方程中。同时应注意法方程中x的4次幂是由两个2次幂相乘得到，x的3次幂是由一个2次幂和一个1次幂相乘得到，而2次幂就是变量本身，而非两个1次幂相乘得到。这个概念至关重要，在以后的二次拟合的各类变型中，均需利用这个概念，千万不要用常规的思路去进行代入计算。,3.二次拟合函数的拓展,如果我们需要求解是下面的拟合函数：,参照上面的方法，我们很容易得到求解该拟合函数的法方程,3.二次拟合函数的拓展,4.二次拟合实例,请用二次多项式函数拟合下面这组数据。解：设并计算得下表,4.二次拟合实例,将上面数据代入式(5-14),相应的法方程为,解方程得：a0=0.66667,a1=-1.39286,a2=-0.13095所以：,-3,-2,-1,0,1,2,3,-6,-4,-2,0,2,4,y=0.66667-1.39286x-0.13095x,2,y,Y,X,图5-6拟合曲线与数据序列,二次拟合-VB程序清单,PrivateSubCommand1_Click()Dimn,mAsIntegern=InputBox(n=方程次数)m=InputBox(m=实验次数)ReDimx(m),y(m),a0(n+1),a1(n+1),aa(m,n+1)ReDimqq(n+1,m),pp(n+1,n+1),b(n+1),g(n+1),tt(n+1,n+1)ForI=1Tom:读入数据READx(I),y(I)NextIData-3,4,-2,2,-1,3,0,0,1,-1,2,-2,3,-5Fori=1Tomx(i)=InputBox(x(i)y(i)=InputBox(y(i)Nexti,二次拟合-VB程序清单,omiga=InputBox(omiga=松弛因子)Forj=1Ton+1为计算法方程中的系数做准备Fori=1Tomaa(i,j)=x(i)(j-1)NextiNextjForj=1TomFori=1Ton+1qq(i,j)=aa(j,i)NextiNextj,计算法方程中的右边项Fori=1Ton+1b(i)=0Forj=1Tomb(i)=b(i)+aa(j,i)*y(j)NextjNexti开始计算法方程中的右边项的系数Fori=1Ton+1Forj=1Ton+1pp(i,j)=0Fork=1Tompp(i,j)=qq(i,k)*aa(k,j)+pp(i,j)NextkNextjNexti,二次拟合-VB程序清单,开始用松弛迭代法求解法方程中的变量Fori=1Ton+1a0(i)=0a1(i)=0.11NextiFori=1Ton+1g(i)=b(i)/pp(i,i)Forj=1Ton+1Ifj=iThentt(i,j)=0Elsett(i,j)=-pp(i,j)/pp(i,i)EndIfNextjNexti,50eer=0Fori=1Ton+1eer=eer+Abs(a0(i)-a1(i)NextiIfeer2)。一般地，将含有n个未知量m个方程的线性方程组其一般形式为,第四节解矛盾方程组,写成矩阵形为,一般情况下，当方程数m多于变量数n，且m个方程之间线性无关,则方程组无解，这时方程组称为矛盾方程组。方程组在一般意义下无解，也即无法找到n个变量同时满足m个方程。这种情况和拟合曲线无法同时满足所有的实验数据点相仿，故可以通过求解均方误差极小意义下矛盾方程的解来获取拟合曲线。由数学知识还可证明：方程组ATAX=ATY的解就是矛盾方程组AX=Y在最小二乘法意义下的解。这样我们只要通过求解ATAX=ATY就可以得到矛盾方程组的解，进而得到各种拟合曲线，为拟合曲线的求解提供了另一种方法。,第四节解矛盾方程组,minAX-B22,例如，拟合直线p(x)=a0+a1x的矛盾方程组ATAX=ATY的形式如下：化简得到与式(1-12)相同的法方程,第四节解矛盾方程组,这里需要注意的是变量X和系数（a0，a1）之间的相互转换关系。即对于n次多项式曲线拟合，要计算Q(a0,a1,an)的极小值问题,这与解矛盾方程组,第四节解矛盾方程组,与求的极小问题是一回事。,或,在这里,故对离散数据（xi,yi）,i=1,2,m；所作的n次拟合曲线y=,，可通过解下列方程组求得：,（1-21）,第四节解矛盾方程组,如果拟合函数有n个自变量并进行一次拟合，则其拟合函数为：,（1-22）,通过m（mn）次实验，测量得到了m组,的实数据，则可得到上面n个自变量拟合函数的法方程,第四节解矛盾方程组,只要对法方程（1-22）稍加修改，就可以得到有n个自变量的任意次方的拟合函数的法方程，通过法方程的求，就可以得到拟合函数中的各项系数。,（1-23）,第四节解矛盾方程组,利用解矛盾方程的方法，用二次多项式函数拟合下面数据。解：记二次拟合曲线为形