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例谈三角代换在数学解题中的应用 陶兴红（安徽省六安二中 237005）摘要： 通过例题，说明三角代换在化简根式、解方程、解方程组、证明条件等式、求函数的值域、求条件函数的最值、比较两式的大小、证明不等式、求数列通项公式、复数的三角形式、参数方程和有关多项式问题等方面的主要应用。关键词： 例谈， 三角代换， 解题， 应用引言三角代换是一种很重要的代换方法，它在数学解题中有着极为广泛的应用。利用三角代换解数学题，往往能收到事半功倍之效。本文就介绍三角代换在数学解题中的主要应用。 一 化简根式 例1 化简. 解 由得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 .二 解方程例2 解方程.解 由原方程,不难得.因此，可设，并将它代入原方程，得， 所以 ， 所以 . 因为 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 . 三 解方程组 例3 解方程组解 不难得出均不等于.故原方程组可化为设, 并将之代入上面方程组,得 所以 , 所以 , 所以 , 所以 其中, .四 证明条件等式例4 已知,且均不等于, 求证.证明 设, 则,故.将分别代入要证的等式的左右两边,并化简得左边=,右边=.由得,故.因此原命题得证.五 求函数的值域例5 求函数的值域.解 .因此可设, 则,故.所以.因此函数的值域为.六 求条件函数的最值例6 若为实数，且，试求的最小值.解 设，并规定，代入已知等式可化为，即，故.因此的最小值是.七 比较两式的大小例7 已知,试比较下列两个式子的大小:和.解 由于，故可设，其中，则，.这样本题可转化为比较和,其中. 因为 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 .即 .八 证明不等式 例8 设,求证 .证明 设, 则可令.则原不等式等价于.也等价于.此不等式显然成立.九 求数列通项公式例9 已知数列中, , , 试求数列的通项公式.解 因为 ,所以 由得 , .因此可猜想, 再用数学归纳法证明之. 显然用数学归纳法不难证明这一猜想是正确的.故数列的通项公式是.十 复数的三角形式例10 设复数满足, 求的值.解 由,故可设.因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 .十一 参数方程 例11 过的动直线交抛物线于、两点，求中点的轨迹方程.解 设过的动直线的参数方程为 将此参数方程代入, 得,整理得 .设这个关于的一元二次方程的两根分别为, 则. 这样中点坐标满足以下参数方程 将代入, 并化简得消去参数, 得到中点的轨迹方程为.例12 设是椭圆上的一动点, 求的最大值.解 设椭圆的参数方程为 , 则.故的最大值是.十二 有关多项式问题例13 是否存在这样的实数, 使得为无理数, 而, ,都是有理数?解 假设存在, 令, 则为无理数, 而=,都是有理数.从而, 是无理数.另一方面, 是两个有理数的乘积, 故是有理数, 矛盾. 所以满足条件的不存在.参考文献1 陈传理主编. 高中数学竞赛名师讲座M. 武汉: 华中
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