4 .2绘制根轨迹的基本

,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件,闭环传函：,特征方程：,幅值条件,相角条件,所以，根轨迹上的所有点都应满足幅值条件和相角条件，而所有满足这两个条件的点都是根轨迹上的点。,零极点表达式,由幅值和相角条件得：,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,由开环零极点指向轨迹点的向量的方位角。,角条件描述为：,确定对应的K值,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,总结：(1)当k从变化时，S平面上系统特征根的变化形成的轨迹。每一个k值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。,(2)根轨迹上的点符合相角条件，且符合相角条件的点一定在根轨迹上。故相角条件是根轨迹的充要条件。,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,利用模条件和角条件绘制根轨迹：,开环极点为：,无开环零点,2、依据角条件，试探地找出根轨迹。,步骤：(1).在正实轴上取一点s1,不满足角条件，所以正实轴不属于根轨迹,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,(4)在实轴以外取s4,一定在的中垂线上.,2、根据模条件，确定K值。,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,规则1、根轨迹的分支数和对称性,二、绘制根轨迹的基本规则,开环传函:,特征方程为:,n阶方程,根轨迹的分支数等于闭环(开环)特征方程的阶数n,n阶,m阶,根轨迹的分支数等于开环极点数,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,规则2根轨迹的起点和终点：,另：闭环特征根或为实数，或为共轭复根;所以根轨迹关于实轴对称。,根轨迹增益K=0时特征方程的根,根轨迹增益K=时特征方程的根,根轨迹的起点是开环传函的极点（开环极点）,4.2绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,n=m时，根轨迹起点个数等于根轨迹的终点nm时，根轨迹终点个数小于根轨迹的起点,n-m个终点在无穷远处无限零点,根轨迹的终点是开环传函的零点,规则二：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,规则3实轴上的根轨迹,在实轴上取试探点s0，若s0右侧的开环实零极点个数之和为奇数，则s0所在那段属于根轨迹，反之，则不是根轨迹。,规则4根轨迹的渐近线,.渐近线的方向,可以认为所有开环零极点,引向点s的矢量角都相等，为，则根据角条件：,.渐近线与实轴交点,根据规则1，渐近线的交点必在实轴上,规则5根轨迹的分离点和会合点,若实轴上相邻极点间的一段属于根轨迹，则从这两个极点出发的根轨迹分支必然在这段实轴上的某点相遇，然后离开实轴进入s复数区域，则相遇并离开实轴的点称为,若实轴上相邻零点间的一段属于根轨迹，则来从复数区域的两条根轨分支在这段实轴上的某点进入实轴，然后分别中止于两个开环零点，两个分支进入实轴的点称为,假设分离点或会合点为,确定分离点（会合点）：,.重根法：分离点和会合点对应于系统特征方程的重根,.角条件：分离点（会合点）是根轨迹上的点，所以应满足角条件:,若代数方程具有2重根，则必然同时满足方程,规则6实轴上分离点的分离角,根轨迹离开分离点（进入会合点）时，轨迹切线的方向角。,由根轨迹的对称性，根轨迹分支离开或进入实轴时与实轴正交；即：分离角,规则7根轨迹与虚轴的交点,对应特征方程的纯虚根,令s=j代入闭环特征方程，并令其实部和虚部分别等于零，即可求出交点处的值和相应的K值。即：令s=j代入,即：,按系统特征方程列出Routh阵列，并令其第一列的有关元素为零，求出临界值,再由辅助方程求出。,例题:,规则8根轨迹在复极点处的出射角和复零点处的入射角,从复极点处出发的根轨迹切线的方向角,进入复零点的根轨迹切线的方向角,出射角和入射角都满足相角条件,总结：,.利用这些规则可以较简便地绘制出系统根轨迹的大致图形。若要准确，则可以选取若干测试点，用角条件校验；.根轨迹靠近虚轴