高三复习-板块模型-牛二律(育红中学许邱)

育红中学 许宏伟 邱宏 板块问题说明：“板块”问题就是通常遇到的叠放问题，由于其往往可看成由物块和木板构成的一对相互作用模型，故将其形象称为“板块”问题。其应用的知识面较为广泛，与运动学、受力分析、动力学、功与能等有着密切联系，而且往往牵涉着临界极值问题问题，的确是教学的一大难点。板块问题能够较好的考查学生对知识的掌握程度和学生对问题的分析综合能力，是增强试卷区分度的有力题目。因此，板块问题不论在平时的大小模考中，还是在高考试卷中都占据着非常重要的地位。学生在学习这类问题问题时通常对相对运动情况、临界情形和功能关系等不能很好理清。板、块的相对运动例题1如图所示，一速率为v0=10m/s的物块冲上一置于光滑水平面上且足够长的木板上。物块质量为m=4kg，木板质量M=6kg，物块与木板间的动摩擦因数，试问：物块将停在木板上何处？【启导】物块冲上木板后相对木板向右运动，会在木板摩擦力作用下匀减速运动，木板会在摩擦力作用下匀加速运动，两者共速后，一起匀速运动。求物块停在木板上何处，实际是在求物块与木板的相对位移大小。【解析】方法一（基本公式法）由牛顿第二定律可知 对物块 对木板 解得 ，设两者共速时所用时间为t，则解得 这段时间物块与车的位移大小分别为两车的位移之差 故物块能停距木板左端5m处方法二（图像法）v00tv/ms-1t/s作出物块与木板的运动图像如图所示。由牛顿第二定律可求得物块与木板的加速度两者t时刻速度相等，则解得 分析可知，图中阴影面积为板、块的相对位移，由几何关系知故物块能停距木板左端5m处解法三（相对运动法）以地面为参考系，由牛顿第二定律可知 对物块 对木板 解得 ，以木板为参考系，物块的初速度为，加速度为，则两者相对位移为故物块能停在距木板左端5m处【答案】物块能停在距木板左端5m处【品味】本题是板块问题得基本问题。求解本题一定要弄清摩擦力起的作用，物体的运动情况和理解相对位移。本题用不同方法进行了求解意在加强学员从不同角度分析处理问题的意识与能力，要注意对比不同方法的解题出发点，有意识培养自己的思维灵活性、方法的多样性。木板受牵引的板块问题例题2如图所示，长、质量的木板静止放在水平面上，质量的小物块（可视为质点）放在木板的右端，木板和小木块间的动摩擦因数，木板与地面间的动摩擦因数。现对木板施加一水平向右的拉力，取，求：（1）使小物块不掉下木板的最大拉力（小物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。（2）如果拉力恒定不变，小物块所能获得的最大动能是多少。【引导】当木板所受水平外力F小于某一值时，木板会在水平外力作用下加速运动，物块相对于木板就有了相对运动趋势，就会受到木板的静摩擦力作用，并且在其作用下也做与木板加速相同的加速运动。由于物块的加速度由静摩擦力提供，所以物块与木板相同加速度的加速运动的加速度是有上限的，就是物块和木板摩擦力为最大静摩擦时、对物块所产生的加速度，而这也是木板与物块能保持相对静止一块加速的临界加速度。求出这个临界加速度，就可以求出物块不掉下去的最大拉力，因为只要板、块发生了相对滑动，其就必然能够掉下去。如果物块在木板上滑动了，那么其从木板后端将要掉下去时的动能最大，因为此前其一直在滑动摩擦力作用下加速。【解析】（1）设物块与木板能保持相对静止的临界加速度为，则对物块 对整体 所以 （2）当拉力时，物块相对于木板滑动，则对木板 设物块在木板上滑行时间为，则 解得 物块的最大速度 所以 【答案】（1）12N （2）0.5J【品味】在本题第一问的求解中，对临界加速度的分析和求解是关键，而在第二问的求解中用相对位移求时间则是关键。不难发现，就是这样一个看起来并不很长的题目竟然包含着临界问题和相对运动问题，难怪乎不少学员都叹息板块问题太难！“困难像弹簧，你弱它就强！”有些人宁愿被困难征服，有些人喜欢征服困难，你想做哪一种呢？其实，当你全心投入的时候，你会发现别样的精彩！不妨来试试。例题3 www静止在光滑水平面上的平板车B的质量为m0.5kg、长L1m。某时刻A以v04m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，物体A的质量M1kg，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数=0.2，取重力加速度g=10m/s2。试求： （1）若F=5N，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；（2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足的条件。【引导】本题与上题运动情境不同之处在于本题中物块有初速度，而上题中却没有。物块在平板车上做匀减速运动，当两者速度相等时具有最大相对位移（如果两者速度能相等的话）。要想A不从平板车B上滑落，F不能太小，致使物块从平板车右端冲出；F也不能太大，致使两者速度相等后依然不能相对静止而从平板车左端滑出。【解析】（1）物体A滑上平板车B以后，做匀减速运动，有平板车B做加速运动，有 解得 两者速度相同时，有 解得 这段时间内A、B运行的位移大小分别为物体A在平板车上运动时相对平板车滑行的最大距离 由于，所以以上分析和结论成立。（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B 具有共同的速度，则位移关系为 时间关系为 联立以上两式解得 由牛顿第二定律得 若，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，A将从B右端滑落，所以要想不滑落，F必须大于等于1N。当F大于某一值时，在A到达B的右端之前，B就与A具有共同的速度，之后，只有A 与B保持相对静止，才不会从B的左端滑落，所以由以上两式解得 若F大于3N，A与B具有相同的速度之后，A会相对B向左滑动，要想不滑落，F必须小于等于3N。综上所述，F应满足的条件是 【答案】（1）0.5m （2）【品味】本题中物块有了速度，较之上一题运动情境要复杂一些，在分析时就要更加细心。在求解本题第二问时，思维是否缜密直接影响到问题能否得到完满解决，有不少学员可能只考虑到不从平板车右边冲出一种情况。物块受牵引的板块问题例题4如图所示，一块质量为、长为l的匀质木板放在很长的水平桌面上，板的左端有一质量为的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮并与桌面平行，某人以恒定的速度向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，且此时板的右端距离桌边定滑轮足够远求：（1）若板与桌面间光滑，物块与板的动摩擦因数（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板右端，板与桌面的动摩擦因数的范围【引导】由“物块最多只能到达板的中点”知当物块与木板相对位移为木板长度的一半时两者共速。根据位移关系可求出时间，由牛顿第二定律可求出木板加速度，再加上速度相等这一临界条件就可以求出动摩擦因数。若斜面不光滑【解析】（1）以板为研究对象，由牛顿第二定律知 设物块运动到木板中点用时为t1，则 联立式，解得 （2）物块能到达木板右端的条件为：两者速度相等时，其相对位移大于或等于板长，设物块与木板达到共速所用时间为，则 联立式，解得 【答案】（1） （2）大于或等于【品味】求解本题第一问的关键是抓住物体的位移关系，而第二问中弄清物块能够运动到木板右端的临界条件则是解题的关键。斜面上的板块问题例题5如图所示，在倾角为的足够长的斜面上，有一质量为的长木板。开始时，长木板上有一质量为的小铁块（视为质点）以相对斜面的初速度从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为的匀速运动（已知二者速率的值），小铁块最终跟长木板一起向上做匀速运动。已知小铁块与木板、木板与斜面间的动摩擦因数均为（），试求：（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度？（2）长木板至少多长？（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做了多少功？【引导】物块受到沿斜面的重力分量和摩擦力的作用，且由于，所以物块受到的摩擦力一定大于重力沿斜面的分力，物块做匀减速运动，利用牛顿第二定律即可求出加速度。由于物块最终跟长木板一起向上做匀速运动，所以物块速度减为零后又会反向加速，但在物块和木板共速前物块运动方向始终沿斜面向下。由于木板一直匀速运动，因此由平衡条件可以求出拉力大小，再求出物块位移，就可以按照功的定义求解拉力做功了。当然，也可以依据动能定理求解。【解析】（1）因为，所以小铁块相对木板由沿斜面向上得加速度。设小铁块的加速度为，由牛顿第二定律得解得 （2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零，再沿斜面向上匀加速，最终获得稳定速度，设时间后小铁块达到稳定速度，则 设此过程小铁块的位移为，木板的位移为，则，方向沿斜面向下（因为），方向沿斜面向上由于 ，所以 （3）对木板进行受力分析，知所以 【答案】（1） （2） （3）【品味】本题运动情境较为复杂，根据对铁块运动状态的判断体现了学员对斜面模型规律的掌握程度；对小铁块运动情况的分析与运算则又能反映出学员对运动学规律的认识深度；对临界条件的分析又能彰显学员对临界问题的分析能力；而对拉力做功的运算则不仅考查学员对功、能的理解，也能反映出学员对问题的综合把控能力。本题综合性较强，覆盖面较广，对学生的悟性要求也较高。多对象板块问题例题6（2009山东）如图所示，某货场将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1应满足的条件。（3）若1=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。【启导】物块滑下圆轨道末端获得速度，由圆周运动规律可以求得物块对轨道的压力。第（2）问中当其冲上木板A后，A未动，说明物块施予A的摩擦力小于地面对A、B板的最大静摩擦力。物块滑上B后，B动了，说明物块施予B的摩擦力大于地面与B间的最大静摩擦力。第（3）问中看1=0.5是否满足（2）中所求的范围内，若满足的话，可根据运动学规律求时间。【解析】（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得 设货物在轨道末端所受支持力的大小为,根据牛顿第二定律得 联立以上两式代入数据得 N 根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下。（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得 若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得 联立式代入数据得 （3），由式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动。设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为，由牛顿第二定律得 设货物滑到木板A末端是的速度为，由运动学公式得 联立式代入数据得 设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得 联立式代入数据得 【答案】（1）3000N （2） （3）0.4s【品味】本题第（2）问中根据“A动B不动”分析物块摩擦力所满足关系是一个难点！本题与前面所研究过的题目不同，其对象较多，除物块外有两个木板。物块在A上运动过程中，可将A、B看做整体来分析，问题就得到了简化。因为A随然没动，但有向右运动的趋势，我们不妨理解为A发生了形变，从而了挤压B，而地面又阻碍B运动，所以归根结底，地面对A、B整体的摩擦力是阻碍A运动的原因。总结：1板块问题本质特征两物体叠放并接触两物体间通过摩擦力发生作用2常见基本问题及其处理方法常见基本问题处理方法分析物体所受的摩擦力（动力、阻力）根据物块与木板的相对运动方向来判断，摩擦力的突变的时刻：与相同时板、块能一起加速运动的最大加速度板、块间达到最大静摩擦力时相对位移的计算弄清对地位移和相对位移的概念是前提。可先由运动学公式求出某段时间内物体与传送带的对地位移，然后用“快”的减去“慢”的就是差距。也可应用图像法或相对运动法进行求解物块不从木板上掉下去的条件物块与木板保持相对静止时物块还在木板上，弄清达到临界状态的时间和位移关系摩擦生的热（内能）外力对板块系统做的功课堂练习1.质量的小滑块（可视为质点）放在质量为的长木板的右端，木板上表面光滑，木板与地面之间的动摩擦因数为，木板长。开始时两者都处于静止状态，现对木板施加水平向右的恒力，如图所示。为使小滑块不掉下木板，试求（取）： （1）用水平恒力作用的最长时间；（2）水平恒力作功的最大值。 【解析】（1）撤离前后木板先加速后减速，由牛顿第二定律得撤力前 解得 撤力后 解得 木板的位移为使小滑块不从木板上掉下，应满足 又 由以上各式解得 故作用的最长时间为1s（2）木板在拉力作用下的最大位移为 所以做功的最大值 【答案】（1）1s （2）8J【回味】本题第（1）问中，弄清物块不掉下去的条件是关键。一些学员由于理解不了“最长时间”陷入困境，其实只要能想着弄清物体运动过程，找出时间、位移关系，再考虑上临界条件，还是不难求解的。第（2）问，难度不大，考查了功的计算。2.如图所示，一平板车以某一速度v0匀速行驶，某时刻一货箱（可视为质点）无初速度地放置于平板车上，货箱离车后端的距离为l=3m，货箱放入车上的同时，平板车开始刹车，刹车过程可视为做a=4m/s2的匀减速直线运动。已知货箱与平板车之间的摩擦因数为=0.2，g=10m/s2。为使货箱不从平板上掉下来，平板车匀速行驶的速度v0应满足什么条件？【解析】由于，故可作出货箱、平板车的图像如图所示。图中阴影面积即为货箱与平板车在共速前的相对位移大小，则v0v/ms-1t/s0t解得 阴影面积 要使货箱不从平板上掉下来，需满足解得 【答案】【回味】本题中在货箱与平板车共同前进，平板车运动的“快”，货箱相对平板车向后运动；共速后，两者依然要发生相对运动，但货箱较“快”，货箱相对平板车向前运动。因此要想货箱不从平板车上掉下来，只要满足共速前的相对位移大小不超过l就可以了。本题解析应用了图像法求解，学员也可应用其它方法试试。aAB3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数为，盘与桌面间的摩擦因数为。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（g表示重力加速度）【解析】分析可知，盘在桌布上做匀加速运动，脱离桌布后，在桌面上做匀减速运动，则 要想盘不从桌面掉下，需满足 设桌布从盘下抽出所用时间为t，这段时间内桌布位移为x，则 联立式，解得【答案】【回味】本题牵涉过程较复杂，找出盘子与桌布间的位移关系以及盘子不掉下去的条件是关键。求解时要在分析物体运动过程，及位移关系上下功夫。本题中，关于方程组的求解也是一个难点，是对学员运算思维能力的一个考验。课后练习1.如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板， 其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F=kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变化的图线中正确的是（ ）2一块足够长得木板C质量为2m，放在光滑水平面上，如图所示。在木板上自左向右放有A、B两个完全相同的物块，两物块质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为。开始时木板静止不动，A、B两物块的初速度分别为、，方向如图所示。刚开始时A、B、C三物体的加速度之比为 ；A物块在整个运动过程中最小速度为 ；A速度减至最小过程中，AC间的摩擦生热跟BC间的摩擦生热之比为 。3如图所示，有一木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为kg，长为；木板右端放着一小物块，小物块质量为m=1kg，其尺寸远远小于L。小滑块与木板之间的动摩擦因数为（g取10m/s2）（1）现用恒力F作用在木板M上，求：能使m从M上面滑落下来的F的范围？（2）其它条件不变，若恒力F=22.8N，求：m从M上面滑落下来所用的时间？4如图所示，质量M=8kg的长木板放在光滑水平面上，在长木板的右端施加一水平恒力F=8N，当长木板向右运动速率达到时，在其右端有一质量为m=2kg的小物块（可视为质点）以水平向左的速率滑上木板，物块与长木板间的动摩擦因数，小物块始终没有离开长木板，求：（1）经过多长时间小物块与长木板相对静止；（2）长木板至少要多长才能保证小物块不滑离长木板；（3）上述过程中长木板对小物块所做的功。5.如图所示，质量为M的长木板，静止放在粗糙水平面上，有一个质量为m，可视为质点的物块，以某一水平初速度从左端冲上木板，从物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的图像分别如图中的折线acd和bcd所示，a、b、c、d点得坐标为a(0，10)、b(0，0)、c(4，4)、d(12，0)。根据图像（g=10m/s2），求：（1）物块冲上木板做匀速直线运动的加速度大小a1，木板开始做匀加速直线运动的加速度大小a2，达到相同速度之后，一起做匀减速直线运动的加速度大小a；（2）物块质量m与长木板质量M之比；（3）物块相对长木板滑行的距离。6如图所示，一块质量为、长为的匀质木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮，某人以恒定的速度向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮求：（1）物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移；（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板右端，板与桌面的动摩擦因数的范围；（3）若板与桌面间的动摩擦因数取第（2）问中的最小值，在物块从板的左端运动到右端的过程中，人拉绳的力所做的功（其它阻力均不计）。7如图所示，在高出水平地面的光滑平台上放置一质量、由两种不同材料连接成一体的薄板A，其右段长度且表面光滑，左段表面粗糙。在A最右端放有可视为质点的物块B，其质量。B与A左段间动摩擦因数。开始时二者均静止，现对A施加水平向右的恒力，待B脱离A（A