斐波那契与黄金数.doc

无论是在古代还是在现今，数学都是一个非常神奇的领域，尤其是其中的黄金数更是一个神奇的数字。今天我们就一起来看一下其中的美妙。斐波那契是中世纪数学家，他对欧洲的数学发展有着深远的影响。他生于意大利的比萨，曾经游历过东方和阿拉伯的许多地方。1202年，斐波那契出版了他的著作算盘书。在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字，将十进制计数法介绍到欧洲。在此书中他还提出了有趣的兔子问题。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子 在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . 可以将结果以表格形式列出：看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。一个数列，如果从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。 生活中有很多这样的数据，比如生活中大家常见的扑克牌，大家都知道有四种花色。扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。 在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和。但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上， 例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：3枚，兰花，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）；8枚，格桑花，飞燕草；13枚，菊花；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。为什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,.这些数目有什么特殊吗？植物似乎对斐波纳契数着了迷。不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等等形态特征，都可发现斐波纳契数。 你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是21和34，34和55、55和89或89和144，其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才会注意到，例如花菜。如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线，再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，例如顺时针5条，逆时针8条？掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。 为什么植物如此偏爱斐波纳契数？这和另一个更古老的、早在古希腊就被人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。假定有一个数x，它有如下有趣的数学关系：有两个解，即：， 注意这两个数的小数部分是完全相同的。正数解（1.6180339887.）被称为黄金数或黄金比率，通常用表示。这是一个无理数（小数无限不循环，没法用分数来表示），而且是最无理的无理数。同样是无理数，圆周率用22/7，自然常数e用19/7, 2用7/5就可以很精确地近似表示出来，而则不可能用分母为个位数的分数做精确的有理近似。 黄金数有一些奇妙的数学性质。它的倒数恰好等于它的小数部分，也即1/ = -1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。这就是平时经常说到的黄金数。 这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便停下来仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。 那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？ 原来相邻两个斐波纳契数的比近似等于，数目越大，则越接近，当无穷大时，其比就等于。斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满了美与和谐？这也是植物在大自然中长期适应和进化的结果。因为植物所显示的数学特征是植物生长在动态过程中必然会产生的结果，它受到数学规律的严格约束。 不仅植物的种子，花瓣中存在着黄金数，在植物的枝条、叶子也有类似的东西，尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序却是极有规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成1375O。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是1375O，以后二到三层，三到四层，四到五层两叶之间都成这个角度数。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子间的1375中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360，360 137.5 =222.5 ，137.5 :222.5 0.618。瞧，这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。可见，植物之所以偏爱斐波纳契数与黄金数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。 有趣的是，并不只是植物界存在黄金数，这个数字在自然界和人们生活中到处可见。在动物界中也存在着黄金数，海洋中存在着很多如此美丽的螺线，我们把这些螺线抽象为数学图形，可以得到这样一个图形，其中小正方形的边长正好为斐波那契数，在其他的动物身上也存在这样的例子。黄金分割(GoldenSection)是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618。在美术中也常用到黄金数，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。有许多美术家运用它创造了不少不朽的著名。例如达芬奇的蒙娜丽莎用上了这个比值。下面这些图中也都有意无意的用上黄金数这个数学知识。世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”。遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面, 都有意无意地运用了黄金分割的法则, 给人以整体上的和谐与悦目之美。举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子，神庙外部呈长方形，长228英尺，宽101英尺，有46根多立克式环列圆柱构成柱廊。文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。在现代建筑中，一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔（553.33米），都是根据黄金分割的原则来建造的。上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化。更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度58的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是58这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果。人体自身也和0.618密切相关。 人的肚脐位于身长的0.618处时身材最美，这也是女士们穿高跟鞋的原因。有人研究出人体最感舒服的温度约23摄氏度，是正常体温37度的黄金点（23=37x0.618），也就是说，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人体感到最舒服。这也是人们为什么喜欢春天的原因。现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0.618的近似值(12.9赫兹与8赫兹之比)时，人的心身最具快感。“黄金分割”的比值0.618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数。日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值。 医学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病。 还有喝5杯水。人体内的水分占体重的61.8，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2500毫升。其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1500毫升，大约占61.8。其余1000毫升需要补充，才能保持水平衡。因此，每人一天要喝5杯水。 一天合理的生活作