高中数学：函数解析式的十一种方法

高中数学：函数解析式的十一种方法1、 定义法2、 待定系数法3、 换元（或代换）法四、配凑法五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.6、 特殊值法 八、累加法 九、归纳法十、递推法十一、微积分法 一、定义法：【例1】设，求. =【例2】设，求.【解析】设【例3】设，求.【解析】又故【例4】设.【解析】.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。【例1】 设是一次函数，且，求【解析】设 ，则 【例2】已知，求.【解析】显然，是一个一元二次函数。设则 又比较系数得： 解得：三、换元（或代换）法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。【例1】 已知，求【解析】令，则， 【例2】 已知求.【解析】设则则【例3】 设，求.解：令又 【例4】 若 （1）在（1）式中以代替得即 （2）又以代替（1）式中的得： （3）【例5】设，求。【解析】 （1）用来代替，得 （2）由【例6】已知，求.【解析】设，则 即代入已知等式中，得：四、配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。【例1】已知求的解析式。【解析】可配凑成 可用配凑法 由 令 则 即当然，上例也可直接使用换元法令 则得 即 由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。【 例 2】已知求.【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。 由 令 由即得 即：实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。 五、函数方程组法。函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。【 例1】设满足求的解析式。【解析】要求可消去,为此，可根据题中的条件再找一个关于与的等式，通过解方程组达到消元的目的。 显然，,将换成得 .由消去，得小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。【 例 2】已知，求.【解析】设，则 即代入已知等式中，得：【例 3】设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式【解析】为偶函数，为奇函数， 又 ，用替换得： 即 解 联立的方程组，得 ， 六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）【例1】设是定义在N上的函数，满足，对于任意正整数，均有，求.解：由，设得：即：在上式中，分别用代替，然后各式相加可得：【例2】 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求【解析】对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有 再令 得函数解析式为：七利用给定的特性求解析式.【例1】设是偶函数，当x0时， ，求当x0时，的表达式.【解析】对xR， 满足，且当x1，0时， 求当x9，10时的表达式.七利用给定的特性求解析式.八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）【例1】若，且当，求.【解析】递推得： 以上个等式两边分别相加，得：九、归纳法：【例1】已知，求.【解析】，依此类推，得再用数学归纳法证明之。 十、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例1】 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求【解析】，不妨令，得：，又 分别令式中的 得： 将上述各式相加得：，