吉林省吉林一中高三数学直线、平面、简单几何体 基础过关5.doc

一高考考点空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。(1) 异面直线所成的角：范围是（0，/2。求两条异面直线所成的角的大小一般方法一是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。二是利用设基向量或建立坐标系，利用向量的夹角，设为，则异面直线所成的角为或1800-。(2) 直线与平面所成的角：范围是0，/2。求直线和平面所成的角的方法是：一是用的是射影转化法。具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。DBAC注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有。如图DC, CBAB由三垂线定理知ABBD.记DAB=CAB=DAC=,则.二是求直线所在向量与平面的法向量的夹角，设为，则直线与平面所成的角为-900或900-。(3)确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。二二面角（1）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法: 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角。 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。直接求二面角的方法有以下二种： 利用斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小. 利用建立空间直角坐标系或基向量，求两平面的法向量，面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 （4）思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。（5）特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。二强化训练 一选择题D1直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D） 2PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 3若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 4 矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是（ ）（A） 30 （B） 45 （C） 60 （D） 905PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D） 6在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （ ）（A)300 （B)450 （C)600 （D)9007平面P和平面Q所成的二面角为，直线ABP且与二面角的棱成角，它和平面Q成角，那么（ ）（A） （B） （C） （D） 8二面角的平面角为120，A，B，若则CD=（ ）（A） （B） （C） 2 （D） 9在边长为a的正三角形ABC中，ADBC，沿AD将ABD折起，若折起后B，C间距离为，则二面角BADC的大小为（ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）9010三棱锥A-BCD中，AB=AC=CD=AD=，要使三棱锥A-BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小为（ ） （A） （B） （C） （D）二填空题11如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的大小是 。12若直线l1与直线l2垂直相交，且它们与平面所成的角分别是30和45，那么l1和l2在平面内的射影所成的锐角是_；l1和l2确定的平面与平面所成的锐二面角是_ _.13已知面内有，点P在外，PA=2，P到AB，AC的距离均为，则PA与平面所成角的余弦值为 。14二面角的平面角为，在内，于B，AB=2，在内，于D，CD=3，BD=1，M是棱上的一个动点，则的最小值是 。三解答题15在四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos,求四面体ABCD的体积.16设D是ABC的BC边上一点,把ACD沿AD折起,使C点所处的新位置 在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证:直线与平面ABD和平面AH所成的两个角之和不可能超过(2)若,二面角为,求的正切值.第五节参考答案一.选择题 ACDAC AACCA二.填空题 11. 12. arccos , 60 13. 14. 三.解答题15.