1995年全国高考数学试题

一九九五年全国高考数学试题理科试题一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知I为全集，集合M，NI，若MN=N，则 （ C ）(A) y (B) y (C) y (D) y o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x （A） （B） （C） （D）（2）函数的图象是 （ B ）（3）函数的最小正周期是 （ C ）（A） （B） （C） （D）（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（5）若图中的直线的斜率分别为，则 （ D ） y O x （A）（B）（C）（D）（6）在的展开式中，的系数是 （ D ）（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207（7）使成立的的取值范围是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（8）双曲线的渐近线方程是 （ C ）（A） （B） （C） （D）（9）已知是第三象限角，且，那么等于（A） （B） （C） （D）（ A ）（10）已知直线，直线.有下面四个命题：（ D ） 其中正确的两个命题是（A）与 （B）与 （C）与 （D）与（11）已知在0，1上是x的减函数，则的取值范围是 （ B ）（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）2，+）（12）等差数列的前n项和分别为与，若等于 （ C ）（A）1 （B） （C） （D）（13）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ）（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0），离心率为e,则它的极坐标方程是 （ D ）（A） （B）（C） （D） B1 D1 A1 F1 C1 B A C （15）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，BCA=900，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点。若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ A ）（A） （B）（C） （D）二填空题：本大题共5小题;每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。（16）不等式的解是_答：（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_答：(18)函数的最小值是_答：（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则_答：4（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答）答：144三解答题：本大题共6小题;共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21）（本小题满分7分）在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数。求Z1和Z3对应的复数。解：设Z1，Z3对应的复数分别为依题设得（22）（本小题满分10分）求的值。解：原式=（23）（本小题满分12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AFDE，F是垂足。（）求证：AFDB;（）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角。 D C F A H B E （）证明：根据圆柱性质，DA平面ABEBE平面ABE，DAEB.AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，AEEB，又AEAD=A，故得EB平面DAEAF平面DAE，EBAF又AFDE，且EBDE=E，故得AF平面DEB.DB平面DEBAFDB.（）解：过点E作EHAB，H是垂足，连结DH.根据圆柱性质，平面ABCD平面ABE，AB是交线，且EH平面ABE，EH平面ABCD.又DH平面ABCD，DH是ED在平面ABCD上的射影，从而EDH是DE与平面ABCD所成的角.设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2R3，VD-ABE=ADSABE=EH.V圆柱:VD-ABE=3,得EH=R.可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，DH=EDH=（24）（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8x14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;（）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？解：（）依题设有化简得当判别式时，可得 解不等式组，得不等式组无解。故所求的函数关系式为函数的定义域为0，（）为使，应有化简得解得从而政府补贴至少为每千克1元。（25）（本小题满分12分）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。（）证明（）是否存在常数c0使得成立？并证明你的结论。（）证明：设的公比为，由题设知（1）当时，从而（2）当时，从而由（1）和（2）得根据对数函数的单调性，知即（）解：要使成立，则有 分两种情况讨论：（1）当时，可知，不满足条件，即不存在常数c0，使结论成立。（2）当时，若条件成立，因且故只能有即此时，但时，不满足条件，即不存在常数c0，使结论成立。证法二：用反证法.假设存在常数c0，使，则有由（4）得根据平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知因为c0，故（5）式右端非负，而由（）知，（5）式左端小于零，矛盾。故不存在常数c0，使（26）（本小题满分12分）已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为 y P Q R O x （xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组解得由于点P在直线上及点O，Q，P共线，解方程组解得当点P在y轴上时，经检验（1）（4）式也成立由题设|OQ|OP|=|OR|2，得将（1）（4）式代入上式，化简整理得因x与xP同号或y与yP同号，以及（3），（4）知，故点Q的轨迹方程为所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解法二：由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.设OP与x轴正方向的夹角为，则有由上式及题设|OQ|OP|=|OR|2，得由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），整理得点Q的轨迹方程为所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解法三：投影法设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.由题设|OQ|OP|=|OR|2设OP的方程为这就是Q点的参数方程，消去参数k得当P在y轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程，故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解法四：极坐标法在极坐标系OX中，设POX=由得由得由|OQ|OP|=|OR|2得即将（1），（2）代入（3）故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。文科试题一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集I=0，-1，-2，-3，-4，集合M=0，-1，-2，N=0，-3，-4，则 （ B ）(A) y (B) y (C) y (D) y o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x （A）0 （B）-3，-4 （C）-1，-2 （D）（2）函数的图象是 （ D ）（3）函数的最小正周期是 （ C ）（A） （B） （C） （D）（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（5）若图中的直线的斜率分别为，则 （ D ） y O x （A）（B）（C）（D）（6）双曲线的渐近线方程是 （ C ）（A） （B） （C） （D）（7）使成立的的取值范围是 （ A ）（A） （B） （C） （D）（8）圆的位置关系是 （ C ）（A）相离 （B）外切 （C）相交 （D）内切（9）已知是第三象限角，且，那么等于（A） （B） （C） （D）（ A ）（10）如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体， D1 F1 C1 A1 E1 B1 D C A B B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是 （ A ）（A） （B）（C） （D）（11）已知是x的减函数，则的取值范围是（ B ）（A）（0，2） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，+）（12）在的展开式中，的系数是 （ D ）（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207（13）已知直线，直线.有下面四个命题：（ D ） 其中正确的两个命题是（A）与 （B）与 （C）与 （D）与（14）等差数列的前n项和分别为与，若等于 （ C ）（A）1 （B） （C） （D）（15）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ）（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个二填空题：本大题共5小题;每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。（16）方程的解是_答：3（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_答：(18)函数的最大值是_答：（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，则被抛物线截得的线段长为_答：4（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答）答：144三解答题：本大题共6小题;共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21）（本小题满分7分）解方程解：设，则原方程可化为所以原方程的解为x=2.（22）（本小题满分12分）设复数求复数的模和辐角。解：所以复数的模为;辐角为（23）（本小题满分10分）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。证明证明：设的公比为，由题设知（1）当时，从而（2）当时，从而由（1）和（2）得根据对数函数的单调性，知即证法二：设的公比为，由题设知即（以下同证法一）（24）（本小题满分12分）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AFDE，F是垂足。（）求证：AFDB;（）如果AB=，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求点E到截面ABCD的距离。 D C F A B E （）证明：根据圆柱性质，DA平面ABEBE平面ABE，DAEB.AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，AEEB，又AEAD=A，故得EB平面DAEAF平面DAE，EBAF又AFDE，且EBDE=E，故得AF平面DEB.DB平面DEBAFDB.（）解：设点E到平面ABCD的距离为d记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以ADAB。SABD=ABAD=VD-ABE=VE-ABD=SABD=又V圆柱=AD=，由题设知即（25）（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8x14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;（）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？解：（）依题设有化简得当判别式时，可得 解不等式组，得不等式组无解。故所求的函数关系式为函数的定义域为0，（）为使，应有化简得解得从而政府补贴至少为每千克1元。（26）（本小题满分12分）已知椭圆，直线.P是上