1990年全国高考数学文科

1990年全国高考数学（文科）试题及其解析考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.一选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分） A. 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.B. 甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C. 甲是乙的充要条件.D. 甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件. 二、填空题: （共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）三、解答题. （共6小题，满分60分）21 (满分10分)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.22(满分8分)23 (满分8分)如图,在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,ABBC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. 24 (满分10分)已知a0,a1,解不等式loga(4+3x-x)-loga(2x-1)loga2.25 (满分12分)设a0,在复数集C中解方程z+2z=a.26 (满分12分) 参考答案及其解析一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)C(3)D(4)B(5)D(6)C(7)A(8)B（9)A(10)C(11)B(12)D(13)A(14)C(15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.依题意有由式得d=12-2a.整理得a2-13a+36=0.解得a1=4, a2=9.代入式得d1=4, d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x.依题意,有由式得x=3y-12.将式代入式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得两式相除得解法二:如图,不妨设0loga2(2x-1).当0a1时,式等价于即当0a1时,原不等式的解集是x2x1时,式等价于(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.()令x0,方程变为x2+2x=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;()令x0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.()令y0,方程变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.由此可知:当a1时,方程无实根.从而,当a=0时,方程有正根y=2;()令y1时,方程无实根.从而,当a=0时,方程有负根y=-2;所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=2i;而当a1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.当a=0时,因y0,解方程得y=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=2i.即当01时,方程无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2z+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cos+isin),其中r0,00时,方程无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a0时,原方程无零解.()当k=0,2时,对应的复数是z=r.因cos2=1,故式化为r2+2r=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;()当k=1,3时,对应的复数是z=ri.因cos2=-1,故式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知:当a1时,方程无实根,从而无正根;从而,当a=0时,方程有正根r=2;所以,当a=o时,原方程有解z=2i;当01时,原方程无纯虚数解.(26)本小题考查椭圆的性质,距离公