第二节--矩阵的运算.ppt

矩阵的加法,主要内容,数与矩阵相乘,矩阵的乘法,方阵的幂,第二节矩阵的运算,矩阵的转置,方阵的行列式,共轭矩阵,矩阵矩阵乘积的意义,1.定义定义2设A=(aij)mn与B=(bij)mn是两,A-B=A+(-B).,阵.,显然有A+(-A)=O.,由此可定义矩阵的差为,若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩,阵A与矩阵B的和，记为AB,个同型矩阵，称mn矩阵C=(aij+bij)mn为矩,一、矩阵的加法,2.运算规律设A,B,C为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O.,其中O与A是同型矩阵;,例设,(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.,1.定义定义3设A=(aij)mn,k是一个数,则,为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为kA.,称矩阵,二、数与矩阵相乘,2.运算规律设A,B为同型矩阵,k,l为常数，则,(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.,矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算.,例设,且,求矩阵X.,三、矩阵的乘法,1.引例,2.定义定义4设矩阵A=(aij)mp,B=(bij)pn,i=1,2,m;j=1,2,n,则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,记作,注意:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第,二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.,C=AB.,cij=ai1b1j+ai2b2j+aipbpj,C=(cij)mn,其中,例利用下列模型计算两个矩阵的乘积.,例利用下列模型验证单位矩阵的性质.,例4已知,求AB.,例5求矩阵,的乘积AB及BA.,定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组,若令,AX=b.,则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:,AX=b.,关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.,左乘B”或“B右乘A”.,作乘法时,应指明它们相乘的次序.,如AB读作“A,中AB和BA虽然都有定义,但ABBA.,所以,在,使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.,的矩阵A和B,AB有定义,但BA就没有定义.,即,AB有定义,BA不一定有定义.,中,如,如,AX=b.,(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果,但AC.,例如,AB=CB,BO,不一定能推出A=C.,(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.,例如本节,中AO,BO,但BA=O.,3.运算规律(1)OkmAmp=Okp,AmpOpn=Omn;(2)设A是mn矩阵,Em是m阶单位矩,(5)k(AB)=(kA)B=A(kB).,(B+C)A=BA+CA;,(3)(AB)C=A(BC);(4)A(B+C)=AB+AC,EmA=A,AEn=A;,阵,En是n阶单位矩阵,则,四、方阵的幂,如果A是n阶方阵,那么,AA有意义,也有意义,因此有下述定义:,另外还规定，,.定义,0=E.,相乘称为的m次幂，记为m,即,定义设A是n阶方阵,m是正整数,m个,2.运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则,阶方阵A与B,一般来说(AB)kAkBk.,又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个n,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.,例设,计算A2,A3,An(n3).,例6证明,六、矩阵的转置,1.定义定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到,例如矩阵,的转置矩阵为,一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT或A.,2.运算规律设A，B，C，A1，A2，Ak是矩阵，且,(A1A2Ak)T=AkTA2TA1T;,(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;,则,它们的行数与列数使相应的运算有定义，k是数，,(5)若A为n阶矩阵,则(Am)T=(AT)m,A为反对称矩阵的充要条件是AT=-A.,(6)A为对称矩阵的充要条件是AT=A;,m为正整数;,例7已知,求(AB)T.,例8设A为n1矩阵,且ATA=1,En为n,阶单位矩阵,B=En-2AAT,证明:B为对称矩阵,且B2=En.,七、方阵的行列式,1.定义,定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列,式(各元素的位置不变),叫做方阵A的行列式,记,作|A|或detA.,2.运算规律,设A,B为n阶方阵,为数,则有,(1)|AT|=|A|;,(2)|A|=n|A|;,(3)|AB|=|A|B|.,例9行列式|A|的各个元素的代数余子式,Aij所构成的如下方阵,称为方阵A的伴随矩阵,试证,AA=AA=|A|E.,八、共轭矩阵,复数,记,称为A的共轭矩阵.,共轭矩阵有以下运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单