中南大学09-11年微积分3试卷答案

精品文档-学 院专业班级学 号姓 名座位号任课教师姓名- 评卷密封线 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理评卷密封线中南大学考试试卷2008 2009学年 二 学期 微积分III课程 （时间：09年6月15日，星期一，10：1012：00，共计：110分钟）24学时，1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %题 号一二三四五六七八合 计满 分2020101010101010100得 分评卷人复查人得 分评卷人一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1设曲线为圆周，则 2设为顺时针方向圆周，则3是平面在第一卦限的部分的上侧，把第二类曲面积分化成第一类曲面积分的表达式4设具有二阶连续偏导，则5向量的散度 8欢迎下载8欢迎下载8欢迎下载8欢迎下载8欢迎下载8欢迎下载。得 分评卷人二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中），本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1设为，则 （ ）（A）4 （B）12（C）6 （D）122设为圆周,为所围的平面区域,则下列等式不成立的是 ( )（A） （B）（C）若的方向为逆时针方向，则（D）3设为球面（），则的值为（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 4设曲面为上半球面（），曲面为曲面在第一卦限中的部分，则下面正确的是（）（A） （B）（C）（D）5曲面积分数值上等于（）.（A）面密度的曲面的质量 （B）均匀曲面关于轴的转动惯量（C）流体以速度穿过曲面的流量（D）流体以速度穿过曲面的流量得 分评卷人三、（10分）计算曲线积分，其中：由沿螺线，到点的一段.得 分评卷人四、（10分）计算曲线积分：，其中：由沿螺线，到点的一段.得 分评卷人五、(10分) 计算曲线积分：，其中为，取逆时针方向. 得 分评卷人六、（10分）计算曲面积分：，这里是平面位于第一卦限的那一部分。得 分评卷人七、（10分）计算曲面积分：，这里是由曲面和平面所围那部分立体的外表面。得 分评卷人八、（10分）证明：，在整个面内除的负半轴及原点外的开区域内是某个二元函数的全微分，并求出这样一个二元函数.2008 2009学年 二 学期 微积分III课程 （时间：2010年6月21日，星期一，10：0011：40，共计：100分钟）24学时，1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、填空：1.是曲线，其周长为，则= 2.设是平面位于第一卦限内部分，则_3.是从沿曲线到点，则= 4.若 为某函数的全微分，则_.5.设，则 二、选择题(每小题3分,共15分)1. 设曲线则在中,被积函数取( )时,该积分可以理解成的质量. .2. 已知有向光滑曲线的始点对应的参数值为,终点对应的参数值为,则. .3. 当表达式中函数取( )时,此式在其定义域内必为某一函数的全微分. 4. 以下四结论正确的是（ ）（）； （）（）； （） 以上三结论均错误。5. 曲面积分在数值上等于( ). 面密度为的曲面之质量; 向量穿过曲面的流量; 向量穿过曲面的流量; 向量穿过曲面的流量.三、(8分)计算,其中为.四、(10分)计算，其中为取逆时针五、(10分)计算曲线积分 , 其中G是用平面截立方体: 0x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 六、(10分)计算，其中为锥面被柱面所截的部分.七、(10分)计算，其中为，绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向夹角大于。八、(12分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其始点为,终点为.记,(1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.参考答案一、1.；2.4；3.1；4.；5.。二、 1. (C) 2. (C) 3. (A) 4. (B) 5. (D)三、(8分)计算,其中为.解(方法一) 由于是平面上过球的中心的大圆两个曲面方程联立消去,得 在式中,令 将,代入平面,得,故的参数方程为，所以 (方法二) 由于积分曲线方程中的变量具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.故有同理 所以 四、(10分)计算，其中为取逆时针解：(1) ；(2) ，取逆时针方向。五、(10分)计算曲线积分 , 其中G是用平面截立方体: 0x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 解 取S为平面的上侧被G所围成的部分, S的单位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有 , 其中Dxy为S在xOy平面上的投影区域, 于是 . 提示 : . . .六、(10分)计算，其中为锥面被柱面所截的部分.解： ：，投影区域或，因此 = = =.七、(10分)计算，其中为，绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向夹角大于。解：为，不封闭，补上：，其法向量与轴正向同向。八、(12分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其始点为,终点为.记,(1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.证明(1) 设,.在上半平面内处处成立,所以在上半平面内曲线积分与路径无关.(2)(方法一) 如图10-10,由于积分与路径无关,所以 当时,所以.(方法二)因为连续, 所以存在,当时,由此得.中南大学考试试卷2010 2011学年 二 学期 微积分III课程 （时间：11年6月15日，星期三，10：0011：40，共计：100分钟）24学时，1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，总计20分）1、设L是以为顶点的三角形域的边界，则 。2、设是逆时针方向的闭曲线，其方程为，则= 0 。3、设曲面为介于及间的部分的外侧，则 180 。4、设是某个二元函数的全微分，则 0 。24欢迎下载24欢迎下载24欢迎下载24欢迎下载24欢迎下载24欢迎下载24欢迎下载。二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中），本大题共4小题，每小题5分，总计20分）1、曲线积分与路径无关，为平面上有向光滑曲线，则（ B ）（A） （B） （C） （D）2、设S是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分（ A ） A.0； B.； C. ； D.3、设为Z=0（）的上侧 ，则=（ C ）A. B.C. D.04、流速场通过椭球面+=1的外表面的流量为（ D ）A. ; B. ; C. ; D. 三、（10分）设曲线为上相应于从0变到1的这段弧，计算。解：ds= =.四、（10分）计算，其中是沿曲线从点到点的圆弧。解：P=2y+y,Q=4x+3xy, P=2+3y, Q=4+3y, Q-P=2为了利用格林公式，补加BO+OA,使L+BO+OA成为闭曲线，且为所围区域D的边界曲线的正向。 五、(10分) 计算曲面积分，其中有向曲面为下半球面取下侧，为大于零的常数。解：取为xoy面上的圆盘，方向取上侧，则=-=六、（10分）求向量的旋度，并计算此向量沿闭曲线（从z 轴正向看去为逆时针方向）的环流量.解：。取：2x+2y-1=z（上侧）， =（），七、（10分）曲面将球面分成三部分，求此三部分的面积之比。解： =，则，故