2015年清华附中高一上学期数学期末考试试题(含详细解答).doc

键入文字清华附中高一数学期末2015年1月一选择题（共5小题）1（2015山东）设函数f（x）=，若f（f（）=4，则b=（）A1BCD2（2014北京）已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）3（2015武清区模拟）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度4（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟5（2014梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=xsinx （B）y=xcosx（C）Y=|ln x| （D）y=2x7 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A BC D二填空题（共4小题）6（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）=xsinx，xR，则f（），f（1），f（）的大小关系为 7（2012封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是8（2013桃城区校级一模）设函数f（x）=2sin（x+）若对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，则|x1x2|的最小值为9（2015春贵港期中）设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为（10）2-3,3错误!未找到引用源。,log25三个数中最大数的是14设函数若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则实数的取值范围是 三解答题（共4小题）10（2014秋淮阴区校级月考）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低处（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m11（2012春抚顺期末）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示：（）求函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；（）若g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求g（x）的单调递增区间12（2009杨浦区一模）研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y=m2x+21x（x0，并且m0）（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围13（2009江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（xa）|xa|（1）若f（0）1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x（a，+），求不等式h（x）1的解集（15）（本小题13分）已知函数f（x）=（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最小值。15（13分）已知函数() 求的最小正周期； () 求在区间上的最小值2015年08月20日1482572436的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2015山东）设函数f（x）=，若f（f（）=4，则b=（）A1BCD【考点】函数的值；分段函数的应用菁优网版权所有【专题】开放型；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可【解答】解：函数f（x）=，若f（f（）=4，可得f（）=4，若，即b，可得，解得b=若，即b，可得，解得b=（舍去）故选：D【点评】本题考查函数的零点函数值的求法，考查分段函数的应用2（2014北京）已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）【考点】函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】可得f（2）=20，f（4）=0，由零点的判定定理可得【解答】解：f（x）=log2x，f（2）=20，f（4）=0，满足f（2）f（4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题3（2015武清区模拟）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，可得结论【解答】解：将函数的图象上所有的点的坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x+）的图象；再把所得图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（x+）=cosx的图象，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题4（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟【考点】进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】推理和证明【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=0.2，b=1.5，c=2，p=0.2t2+1.5t2，对称轴为t=3.75故选：B【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键5（2014梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可【解答】解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x24x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2即f（x）的“友好点对”有：2个故答案选 C【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决二填空题（共4小题）6（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）=xsinx，xR，则f（），f（1），f（）的大小关系为 f（）f（1）f（）【考点】正弦函数的单调性；函数单调性的性质菁优网版权所有【分析】判断函数f（x）=xsinx是偶函数，推出f（）=f（），利用导数说明函数在0，时，得y0，函数是增函数，从而判断三者的大小【解答】解：因为y=xsinx，是偶函数，f（）=f（），又x0，时，得y=sinx+xcosx0，所以此时函数是增函数，所以f（）f（1）f（）故答案为：f（）f（1）f（）【点评】本题是基础题，考查正弦函数的单调性，奇偶性，导数的应用，考查计算能力，导数大于0，函数是增函数，是解题的关键7（2012封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2【考点】扇形面积公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】设扇形的圆心角的弧度数为，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求即可【解答】解：S=（82r）r=4，r24r+4=0，r=2，l=4，|=2故答案为：2【点评】本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查8（2013桃城区校级一模）设函数f（x）=2sin（x+）若对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，则|x1x2|的最小值为2【考点】三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求出函数的周期，对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，然后求出|x1x2|的最小值【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）的周期T=4，对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，|x1x2|min=2故答案为：2【点评】本题是基础题，考查函数的周期，对表达式对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立的正确理解，是解题的关键，是突破口，|x1x2|的最小值就是半周期9（2015春贵港期中）设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=，故线段P1P2的长为，故答案为：【点评】本题主要考查考查三角函数的图象、体现了转化的数学思想，属于基础题三解答题（共4小题）10（2014秋淮阴区校级月考）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低处（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m【考点】已知三角函数模型的应用问题菁优网版权所有【专题】综合题；数形结合；函数思想；转化思想；数形结合法【分析】（1）由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，过O在地面上的投影且与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，由起始位置在最低点，故可以得出点P的坐标，再由摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，知T=3，可得角速度为弧度/分，再结合摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，即可得出确定在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数；（2）由（1）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间【解答】解：（1）由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，由题意P（，40），A=40，T=3，可得=，故有点P离地面的高度h=40sin（t）+50，即t时刻点P离地面的高度h=40sin（t）+50（2）令40sin（t）+5070得sin（t），即有t，解得1t2，在旋转一圈的三分钟的时间里，从一分钟开始高度大于70，二分钟开始高度小于70，故高度大于70的时间一周中有一分钟答：一周中有一分钟的时间高度超过70m【点评】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的坐标系，得出相应的函数的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角11（2012春抚顺期末）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示：（）求函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；（）若g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求g（x）的单调递增区间【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性菁优网版权所有【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（）利用函数的图象得到A，T，求出，利用函数图象经过的特殊点，求出，即可求出函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；（）通过g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，推出g（x）=f（8x），求出g（x）的解析式，然后求解单调递增区间【解答】解：（）由图可得A=，T=16，=，（2分）则此时f（x）=，将点（2，）代入可得，|，解得=（4分）f（x）=； （5分）对称中心为（8k2，0）kZ （7分）（）由g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，得g（x）=f（8x）（10分）g（x）=（12分）令，kZ得6+16kx14+16k，kZ，g（x）的单调递增区间是6+16k，14+16k，kZ（14分）【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的对称性以及单调性的应用，考查计算能力，转化思想12（2009杨浦区一模）研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y=m2x+21x（x0，并且m0）（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围【考点】函数模型的选择与应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）将m=2，x=5代入y=m2x+21x（x0，并且m0）解指数方程即可求出x的值；（2）问题等价于m2x+21x2（t0）恒成立，求出m2x+21x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围【解答】解：（1）由题意，当m=2，则22x+21x=5（2分）解得x=1或x=1； 由x0，x=1（5分）故经过1时间，温度为5摄氏度；（6分）（2）由题意得m2x+21x2对一切x0恒成立，（7分）则 由2x0，得 （9分）令t=2x则0t1，（11分）当时，取得最大值为；（12分）故的取值范围为（14分）【点评】本题的考点是函数模型的选择与