高中数学竞赛指导（第一讲）.doc

第一讲 函数的概念赛点直击一、 函数的定义域1. 几种常见的初等函数的定义域.已知下列函数：yn*；y；ylogQ(x)P(x)；ytanP(x)；ycotP(x).使各函数式有意义时，P(x)，Q(x)的约束条件分别为： P(x) 0；Q(x) 0； 0Q(x)1且P(x)0；P(x) kk；P(x)kk2. 复合函数的定义域已知函数f(x)的定义域为【a,b】,求函数yfg(x)的定义域的问题。其解题步骤为由ag(x)b，解出x的范围，即为函数yfg(x)的定义域.若函数关系式是由图像给出的，则可由图像直接观察函数的定义域.若函数关系式表示的是一个实际问题中的两个变量之间的关系，则要注意实际问题中变量的范围.二、 函数的值域根据函数表达式的形式，值域的求法也各不相同，一般有以下几种求法：1. 配方法如果所给出的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般可采用配方法进行求解.在求解时要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围.2. 利用函数的单调性如果所给出的函数是熟悉的已知函数的形式，那么可根据函数的图像或利用函数的单调性来判断.在利用函数的单调性求解时，一定要注意其单调区间.3. 反函数法若某函数存在其反函数，则可利用互为反函数的两个函数的定义域和值域的互反性，该求其反函数的定义域.4. 判别式法若将y看成常数，所给函数yf(x)便可看成是关于x的方程；若是关于x的二次方程，则可利用判别式0来求y的取值范围，但需注意取等号的问题.5. 变量代换法一个复杂的函数，如果将其中得到某个式子看成一个整体，通过变量代换，就可以化为我们熟知的表达式，这时要注意所代换的表达式的取值范围.6. 利用基本不等式利用代数基本不等式xy2,xyz3x,y,z0等来求函数的值域，也是一种行之有效的方法，但是在使用时要注意是否符合公式的基本要求以及能否取到等号的问题三、 函数的对应关系自变量x与函数y的对应关系是指对于自变量x的一个确定的数值x0（定义域内），应以何种方式求出函数y的对应值y0 ,对应关系一般用f,g等字母表示.对应关系一般有显式和隐式之分.显式一般是用yf(x)或其图像，隐式一般可用f所满足的一些条件的形式给出，例如函数方程的形式.赛题解析1. 求下列函数的定义域：（1） y ；（2） y解：（1）要使y有意义，则：x(3x)0, 0x3(x3)20,即： x3(x3)21, x2且x4故定义域为0,2)(2,3).(2)由题意知，函数的自变量x的取值范围是 axkbx0 ,即（）xk.因a0,b0,a1,b1.则 当ab0,k0时, 定义域为x|xk 当ba0,k0时, 定义域为x|xk 当0ab1,且0k1时, 定义域为R. 当k0时，定义域为R.说明（1）求函数的定义域一般可转化为求不等式的解，对于参数，应予以讨论（3） 函数的定义域一般应表示为集合形式或用区间表示2. 已知a(,0，函数f(x)的定义域是(0,1，求g(x)f(x+a)f(x-a)f(x)的定义域.【分析】g(x)f(x+a)f(x-a)f(x)的定义域是f(x+a)，f(x-a)，f(x)的定义域的交集，解题时应注意参数a的取值范围，有时应对a进行分类讨论.解：由题意得：0xa1, ax1a 0xa1, 即 ax1a 0x1, 0x1 a0 ,0a , 11a, 1a1.不等式组的解为ax1a.g(x)的定义域为（a,1a.【说明】本题中a(-,0给得恰到好处，不然就得对a进行分类讨论了；若a的取值范围使得由，组成的不等式无解，这时我们千万不能称g(x)的定义域是空集，因函数的定义域和值域均不能为空集，而要说这时不存在函数g(x).3. 求下列函数的值域.(1)yx(2)y(3)y(4)y(5)y|x1|x1|x2|(6)y(7)yx(x0)解：（1）令t(t0),则： x,y1 又t0，故y11，即函数的值域为(-,1 (2)因为y,所以102x(y1)且反函数为ylg由0知反函数的定义域为(-,-1)(1,+),故原函数的值域为(-,-1)(1,+).(3)因为2xx3x14,所以02xx34.又0.51,由y的单调性可知值域为-2，+(4)方法一： y2222(当且仅当x0时取等号)，故值域为2，+方法二： y表示为动点P(x,1)到定点A(1,0),B(-1,0)的距离之和，故y2,即值域为2，+(5) y|x1|x1|x2|表示数轴点坐标为x的点P到点A(-1),B(1),C(-2)的距离之和。画图，观察动点P的位置，显然可以知当P点落在A(-1)点时，达到最小值3，故值域为3，+(6)由于y1(x-3),所以y1,且y,即值域为(-, )(,1)(1,+ )(7)由于x0，所以yxx3,当且仅当x，即x时等号成立，所以值域为,+. 4. 设f(x)是定义在区间(-,+)上以2为周期的函数，对于k，用Ik表示区间(2k1,2k1.已知当xI0时，f(x) x.（1） 求f(x)在Ik上的解析式；（2） 对正整数k，求集合Mka|使方程f(x) ax在Ik上有两个不等式的实根 解：（1）由已知得f(x2k)f(x), k. 由于当xIk(2k1,2k1时，x2kI0(-1,1而当xI0 时,有 f(x) x,所以f(x2k)(x2k), xIk , k 即：f(x)(x2k), xIk , k (2)当k*且xIk时，由(1)知，所求集合Mk是使方程(x2k)ax在(2k1,2k1( k*)上有两个不相等的实根的a的集合，而方程(x2k)ax可化为x(4ka)x4k0，此方程在区间Ik( k*)上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足(4ka)16ka(a8k)0,4ka2k1,4ka2k1.化简得:a(a8k)0, 2a, 2a, 由(1)知a0或a-8k当a0时，2a2a,则由得2a，即: a(a8k)(2a) , 2a0 ,解得0a.当a-8k时，2a28k0,不等式2a无解.综上所述，a满足0a故所求集合为Mka|0a, k*5. 设0a1时，函数f(x)(a1)x6axa1恒为正，求f(x)的定义域.【分析】若将f(x)改写成g(a)( 0a1)，可知g(a)的图像是一条线段（无右端点），且位于a轴的上方.解：设g(a)(a1)x6axa1(x6x1)a1x(0a1)，则g(a)是定义在0,1上的一次函数或常数，故其图像是条线段（有左端点无右端点），由已知得g(a)0恒成立，故该线段应在a轴上方.g(0) 0, 即：1x0 .g(1) 0, x6x11x0-1x,f(x)的定义域是（-1，6. 已知函数f(x)xax(a0),x0,1,求f(x)的最小值g(a)，并求g(a)的最大值.解：f(x) (x).当01,即0a2时,g(a)f()；当1,即a2时,g(a)f(1) 1.故g(a) 易知maxg(a)7. 设f(x)axbxc,证明：对一切整数n，f(n)都为整数的充要条件是2a,ab,c均为整数.【分析】考虑ab，得：f(x)axax(ab)xc2a(ab)xc证明：由x2x知.f(x)2a(ab)xc.若对任意n,f(n),则f(0) c,f(1)abc,f(2)2a2(ab)c均为整数，所以ab,c,2a均为整数.反之，若2a,ab,c，则对于任意整数n,n与n1中必有一个为偶数，即，故： f(n)2a(ab)nc8. 设f(x)对x0有意义，f(2)1,f(xy)f(x)f(y),且f(x)f(y)成立的充要条件是xy0.求：(1)f(1)和f(4)的值；(2)当x在什么范围取值时f(x)f(x3)2. 解：(1)由于f(2)1，且对于x0,y0, f(xy)f(x)f(y),则令x=1,y=2,得f(2)=f(2)f(1),得：f(1)0.令x=2,y=2,得：f(4) f(2)f(2)2(2)由条件f(xy)f(x)f(y)，得 f(x)f(x3)f(x3x) .又f(4)2,则由f(x)f(x3)2,得f(x3x) f(4)由条件f(x)f(y)成立的充要条件是xy0，所以有： x3x4, x0, 解得：3x4. x30.9. 已知, 是方程4x4tx10(tR)的两个不等实根，函数f(x)的定义域为, .求g(t)maxf(x)minf(x).解：设x1x2，则 4x14tx110,4x24tx210,4(x1x2)4t(x1x2)20,2x1x2t(x1x2)0.而f(x2)f(x1)又t(x1x2)2x1x22t(x1x2)2x1x20,f(x2)f(x1) 0.故f(x)在区间, 上是增函数.t, , g(t)maxf(x)minf(x)f()f() .巩固练习1. 函数f(x)满足f(x3)lg，那么f(x)的定义域是 ( )A.(- ,) B.(-3,3) C.(-,-3)(3,+)D.(- ,0)(0, )2. 函数y，下述判断中正确的是：( )A.最大值是-2，最小值是0 B.最大值是3，最小值是2C.最大值是3，最小值是1D.最小值是2，最小值是13. 函数f(x) axc,满足-4f(1)-1，-1f(2) 5,那么f(3)的取值范围是:( )A. 7,26 B.-4,15 C.-1,20 D.-,4. 若f(x)(x|x|)，则ff(x)是:( )A. x|x| B.0 C. D. 5. 函数f(x)的定义域是:( )A.x|x0 B.x|x0且x-1C.x|x0 D.x|x0且x-1,xR6. 关于x的方程9-|x2|43-|x2|a0有实根的充要条件是:( )A .a-4 B.-4a0 C.-3a0 D .a07. 函数y的值域为:( )A.(-2,-1) B.-1,0)C.-1,+) D.(-2,+)8. 若f(x)lg(-1x1)，那么f()用f(x)来表示是: ( )A. f(x) B.2f(x)C.3f(x) D. f(x)9. 对xR，设f(x)是4x1,x2,2x4三个函数中的最小者，那么f(x)的最大值是: ( )A. B. C. D.10. 函数y的值域是( )A.(-1,1) C.(-,-1)(1,+) B.(0,+) D. (-,-3)(3,+)11. 函数f(x)的定义域为(-,1，则函数f的定义域为 12. 设定义在整数集上的函数f(x)满足f(n),则f(1993) 13. 函数y的定义域为x|xa，则实数k的取值范围是 14. 设函数f(x)满足关系式af(xn)f(-xn)bx，其中a1,n为奇数，则f(x) 15. 函数y的值域是 16. 定义在R上的函数yaxax1(aR)的值域为R+的子集的充要条件是 17. 函数f(x)x3x2(x0)的最小值为 18. 设f(x)，则f()f()f() 19. 设f(x)|xp|x15|xp15|，其中0p15，若px15，则f(x)的最小值是 20. 已知函数f(x)的定义域为-1,1，求f(ax)f()（其中a0）的定义域.21. 函数f定义在整数集上，满足.f(n) 求f(84).22. 求函数y的值域.23. 函数f(x)定义在0,1上，且f(0)f(1)，如果对不同的x1,x20,1，都有|f(x2)f(x1)| x2x1|，证明：|f(x2)f(x1)|.参考答案：15：B D C D B 610：C A C D A11.-,-1)(1, 12.199