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多元函数微分法及其应用（二）课堂练习题一、填空题1球面x2+y2+z2=R2在点(x, y, z)处向外的一个法向量为_ _，方向余弦为_ _。2在曲线x=t, y=-t2, z=t3的所有切线中，与x+2y+z=4平行的切线有 条。3M(1,-1,2)为曲面z=f (x, y)上的一点，且fx(1,-1)=2，fy(1,-1)=-2，则曲面在点M处的切平面方程为 。4函数z=x2+3xy在点(1, 2)处沿x轴正向的方向导数为 。5曲面在点M(1, 1, 1)处的法线方程是 。二、选择题1函数u=2xy-z2在点(2,-1,-1)处方向导数的最大值为 。A2； B1； C2； D24。2函数u=3xy2+2x3y-1在点M(3, 2)处沿与x轴正向成倾角方向的方向导数值等于 。A60+45； B60+45； C-60+45； D-60-45。3已知曲面z=4-x2-y2在某点P处的切平面平行于平面2x+2y+z=1，则点P的坐标是 。A(1,-1,2)； B(-1,1,2)； C(1,1,2)； D(-1,-1,2)。4曲线上点(2, 1, 1)处的切向量与z轴正向成锐角，则此切向量与oy轴正向夹角为 。 A； B； C； D。三、计算题1 求曲线上点M(1,1,2)处的切线方程。2 在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出该法线方程。3 求函数f =x-2y+2z在条件x2+y2+z2=1下的极值。4函数z=x2+3xy在点(1, 2)处沿x轴正向的方向导数。四、从斜边之长为l的一切直角三角形中求有最大周界的直角三角形。五、横截面为半圆形的圆柱体张口浴盆表面积为S，当浴盆断面半径和浴盆长各为多少时，浴盆有最大容积？六、证明：曲面上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为定值。选做题1曲线y=f (x)、z=g(x, y)（其中f (x)和g(x, y)都是可微函数）上点(x0, y0, z0)处的切线方程是 。2曲线x=cost、y=sint、z=tg在点(0, 1, 1)处的一个切向量与x轴正向的夹角为锐角，则此向量与z轴正向夹角r= 。3设F(u, v, w)是可微函数，且有Fu (2, 2, 2)=Fw (2, 2, 2)=3、Fv (2, 2, 2)=-6，曲面F(x+y, y+z, z+x)=0通过点(1, 1, 1)，则过该点的法线方程是 。4设M(1, -1, 2)是曲面z=f (x, y)上的点，若fx(1,-1)=3，且在(x, y)处有xfx+yfy=f，则曲面在这一点的切平面方程为 。5可微函数f (x, y)对于任意实数t0均满足条件f (tx, ty)=tf (x, y)，p0(1,-2,2)是曲面z=f (x, y)上的点，且fx(1,-2)=4，求此曲面在p0点的切平面方程。6试证曲面上所有点处的切平面都通过一定点。7设M(x0, y0, z0)是曲面上任一点，证明在该点处曲面的法线垂直于向径，其中f是可微函数。8讨论函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数是否存在。9利用梯度与方向导数的关系，计算数量场在点p(1,2,3)处沿其矢径方向的方向导数。10证明函数z=(1+ey)cosx-yey有无穷多个极大值，但无极小值。供稿：张秀