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精品文档略谈积分中值定理及其应用 白永丽 张建中 (平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。本文就其在解题中的应用进行讨论。一、积分中值定理的内容：定理1（积分第一中值定理） 若在上连续，则在上至少存在一点使得 （1）定理2（推广的积分第一中值定理） 若在闭区间上连续，且在上不变号，则在至少存在一点，使得 （2）证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在上则在有其中m,M分别为在上的最小值与最大值，则有：若，则由上式知，从而对上任何一点，定理都成立。若则由上式得： 则在上至少有一点，使得即：显然，当时，（2）式即为（1）式二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则，结论不一定成立。例如：显然在处间断。由于但在上，所以，对任何都不能使.（2）定理中的在上不变号这个条件也不能去掉.例如：令：所以，不存在，使(3) 定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是的内点。都有：这也说明了未必是区间的内点。下面就其应用进行讨论。1、估计定积分的值例1、估计的值解：由推广的积分第一中值定理：，其中 即：2、求含有定积分的极限例2、求解：若直接用中值定理 因为而不能严格断定。其症结在于没有排除，故采取下列措施：，其中为任意小的正数。对第一个积分使用推广的积分第一中值定理，有：而第二个积分：由于的任意性知其可任意小。注：求解此类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且还依赖于限式中自变量的趋近方式。3、证明中值的存在性命题例3、设函数在上连续，在内可导，且证明：由积分中值定理得： 注：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用按积分中值定理。4、证明积分不等式例4、求证证明: 其中,于是由即可获证.注：由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理。5证明函数的单调性例5、设函数在上连续， ,试证：在内,若为非减函数，则为非增函数.证明：对上式求导，得： 利用积分中值定理，得：若为非减函数，则，故为非增函数。参考文献：1、数学分析刘玉琏,傅沛仁编，高等教育出版社，上海 1988年出版。2、高等数学解题方法指导，马玲主编，大连理工大学出版社，大连 1996年出版。3、高等数学题库精编，薛嘉庆主编，东北大学出版社，沈阳2000年3月出版。白永丽:平顶山工业职
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