线性规划解决实际问题专项练习.docx

精品文档学科：数学教学内容：研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用【自学导引】1线性规划问题的数学模型是已知(这里“”也可以是“”或“”号)，其中aij(i1，2，n，j1，2，m)，bi(i1，2，m)都是常量，xj(j1，2，m)是非负变量，求zc1x1c2x2cmxm的最大值或最小值，这里cj(j1，2，m)是常量2线性规划常见的具体问题有物质调运问题、产品安排问题、下料问题【思考导学】1应用线性规划解决实际问题的一般步骤是什么？答：一般步骤是设出变量，列出线性约束条件和线性目标函数；利用图解法求出最优解，进而求得目标函数的最大(或最小)值2线性规划的理论和方法主要在哪两类问题中得到应用？答：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务【典例剖析】例1已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费zx1.5(200x)0.8y1.6(260y)(万元)即z7160.5x0.8yx、y应满足作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图722设直线xy280与y260的交点为M，则M(20，260)把直线l：0.5x0.8y0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小点M的坐标为(20，260)，甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少例2制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3、B药品4、C药品4，乙种烟花每枚含A药品2、B药品11、C药品6已知每天原料的使用限额为A药品120、B药品400、C药品240甲烟花每枚可获利2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大解：设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则作出可行域，如图723所示目标函数为：z2xy作直线l：2xy0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大此时z2xy取最大值解方程组得答：每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润总额达到最大点评：把实际问题抽象为线性规划问题是解线性规划应用问题的关键即根据实际问题找出约束条件和目标函数是解应用问题的关键例1可用图示法找约束条件和目标函数，如例2可用列表去找，如：【随堂训练】1图中阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k6x8y取得最大值的点的坐标是_解析：当x0，1时，xy5，即y5x，代入k6x8y得：k402x，当x0，y5时，k最大为40当x1，3时，2xy6，即y62x代入k6x8y得：k4810x，当x1，y4时，k最大为38综上所述，使k取得最大值的坐标为(0，5)答案：(0，5)2某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨问如何安排生产计划以取得最大产值?解：设生产A、B两种产品分别为x公斤、y公斤，总产值z元，则z600x400y作出不等式组表示的平面区域由得取点M(20，20)作直线3x2y0的平行线l1，当l1经过点M时，z的值最大，最大值为20000元答：安排生产A产品20公斤、B产品20公斤能取得最大产值3某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15 t已知生产甲产品1t需煤5t、电力4千瓦、劳力3个；生产乙产品1t需煤6t、电力5千瓦、劳力10个；甲产品每1t利润7万元，乙产品每1t利润12万元，但每天用煤不超过300t，电力不超过200千瓦，劳力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大?解：设每天生产甲、乙两种产品各xt、yt，利润总额为z万元，则z7x12y且作出不等式组的可行域由即P(20，24)当直线l：7x12y0向上平移到过P点，即生产甲、乙两种产品各20 t、24 t时，利润总额最大为428万元【强化训练】1某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石8 t、B种矿石8 t、煤5 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4t、B种矿石8 t、煤10 t每1t甲种产品的利润是500元，每1 t乙种产品的利润是400元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320 t、B种矿石不超过400 t、煤不超过450 t甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域令z500x400y作直线l：5x4y0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时，z500x400y取最大值解方程组得M的坐标为(30，20)答：应生产甲产品30 t、乙产品20 t，能使利润总额最大2某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1 m、1 m、4 m、4 m、5 m；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3 m、2 m、1 m、3 m、2 m如果此人每天摄入维生素A至多19 m，维生素C至多13 m，维生素D至多24 m，维生素E至少12 m，那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z解：设该人每天服用甲种胶囊x粒，乙种胶囊y粒，则z5x2y作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线l：5x2y0，把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，与原点距离最大，此时z5x2y取得最大值，解方程组得M点坐标为(5，4)此时z552433(m)答：每天应服用5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊满足维生素的需要量，且能得到最大量的维生素Z为33m3张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8辆载重量为6 t的A型卡车与6辆载重量为10 t的B型卡车，有10名驾驶员此车队承包了每天至少搬运720 t沥青的任务已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车16次，B型卡车12次每辆卡车每天往返的成本费为A型车240元，B型车378元根据张明同学的调查写出实习报告，并回答每天派出A型车与B型车各多少辆运输队所花的成本最低?解：设每天出动A型车x辆、B型车y辆，运输队所花的成本为z元，则且x，y为整数，z240x378y以上约束条件可简化成