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精品文档裴光亚文章集锦教学的智慧湖北武汉市教科院 裴光亚我们用这样的词来表达我们对一位教师教学行为的赞赏，原来是经验，后来是艺术，现在是智慧。那么，什么是教学的智慧呢？教学的智慧就是遵循教学规律，洞悉教学现象，应对教学事件，驾驭教学活动中所表现出来的创造性及其能力。不难知道，教学智慧首先来自教学实践，丰富的教学经验成为生成它的前提。教学智慧还表现为对经验的超赿，不仅善于预设出引发学生兴趣、想象和思维情境，润物无声地抵达预期的目标；而且善于把教学现场中的偶然因素转化为教学机会，因势利导地把教学引向深入，这当然是一种艺术。可见，教学智慧是比教学经验、教学艺术更高层次的能力。让我们从一个案例谈起。人教版教科书14.3.1，等腰三角形。教材先是一个探究：剪纸，得到ABC，问有什么特点？由此说明等腰三角形的概念，发现等腰三角形的性质，进而给出证明。很多教师也是这样教的。在这一过程中，有操作，有猜想，还有证明。具备了现代理念下课堂教学的一些基本要素，很多人都认为是一节好课。是一节好课吗？我们只要思考一下就会发现：学生是在教师的指令下折纸的，折纸后左右对称的关系已经明摆着，没有猜想的必要了，也就是说等腰三角形的性质并不是学生发现的，而是教师告诉的。这样一想，这个操作不就逊色了吗？进而，我们来看性质1（等边对等角）的证明，证明的关键是作中线AD，可是这条中线在操作时就被学生折叠出来了。这样看来，证明思路的探索过程不就被消解了吗？由此可见，这里的操作并没有实现它应有的价值，相反降低了猜想和证明的思维层次。如果我们换一种设计，效果就会大不一样：从若干三角形中寻找特殊（等腰三角形作为一种特殊情形进入我们的研究视野）定义等腰三角形并提出课题：研究其性质观察我们所面对的图形想象（不难发现左右完全一样）提出猜想（可能有很多猜想，但最终可概括出两条性质）分析并证明其中的一个性质（另一性质留给学生思考）折纸验证并进行解释。在这个设计中，猜想表现的是洞察力，证明需要探索，操作的意义在于实验，它强化了我们对猜想的直觉和对证明的理解。它和课本的设计不同，它遵循的不是课本，而是教学的规律，促进学生发展的规律。这是什么？这就是智慧。智慧在鉴赏课本所蕴含的现代理念的同时，不是简单模仿，不模仿课本，也不模仿所谓“新课程教学案例”，而是追问，这些要素，诸如观察、实验、猜测、验证、推理、交流等的价值是什么？如何体现它的价值？因为在一个拥有智慧的教师看来，单纯依赖模仿与记忆的课一定不是好课，运用了实践、探索、交流等方式的课也不一定就是好课。关键是它们在实现教学目标中所起的作用，即是否促使学生获得了对数学的理解，是否引领学生经历了数学思考和解决问题的过程，是否有利于学生在情感、态度和价值观方面的发展。这也说明，教学的智慧首先表现在对教学设计的理性思考，其次才是对教学事件的应对。如何应对所谓的“偶发”事件呢？我们来看一个实际发生的例子。一位八年级教师讲“轴对称变换”。已知一条直线和一个图形，如何作出这个图形关于已知直线的对称图形？同学们从自己的生活经验出发，认为把这张纸沿着直线对折后描图，就可以得到原图形关于直线对称的图形了。对此，老师不得不追问，以便引入主题：描图当然可以，但有一个条件，这张纸是透明的。如果这张纸不透明呢？出乎老师意料的是，学生答道：那就用针扎。这样回答当然没有错，似乎偏离了老师的设计，老师只好说：哦，这也是一种方法。现在的问题是：老师该怎么说，才能导向主题呢？其实，这是一个很好的机会。老师可以说：扎针意味着什么呢？意味着找我们需要描出的点，我们把这样的点叫做对应点。那么，如何找对应点呢？像这样因势利导，不就可以推出主题了吗？这说明，应对教学事件的关键，不是回避事件本身，而是挖掘事件的意义，提升学生的境界，把学生的直观经验提升到数学的本质。一边是学生的经验，一边是数学的本质，认识到经验和本质的联系，把经验上升到本质，给学生自由开放的想象以合理解释，以符合教学主题的解释，从而使教学活动在预设的轨道上运行。为了使教学活动在预设的轨道上，不是从行为上控制学生，而是给学生的想法赋予意义。如何处理预设方案和动态生成的关系，这不正好是奥妙所在吗？要做到这一点，不仅仅是应变能力，还有对数学本质的深刻理解。再看一个例子。九年级讲“概率的意义”，老师问：“抛掷一枚质地均匀的硬币，有多少种可能的结果呢？”老师的预设答案是两种结果：“正面向上”和“反面向上”。但居然有一学生说“还有第三种结果，硬币有厚度，有可能直立起来。”怎么办？不承认有“硬币直立”的可能吗？这不是科学的态度；承认有“直立”的可能吗？则有悖于教学意图。因为“两种可能，各占一半”，正是这种简单的情形，才可以向初学者说清楚“概率”的意义。如何应对，我们来做点设想：应对1：这种可能性很小，可以忽略不计。这样回答行不行呢？如果你承认这种可能性很小，而概率讲的就是可能性的大小，它就应该取得某一个确定的概率值。这是不能忽略的。应对2：我说的是理想中的硬币。这样应对可以吗？因为这只是教师个人的“理想”，凭什么理想中的硬币就不能直立呢？应对3：这是实验的结果。历史上，布丰抛掷过4040次，费勒抛掷过10000次，皮尔逊抛掷过24000次，都只出现过“正面向上”和“反面向上”两种情况。笔者以为，这应该是一个好的回答。因为我们是在用“频率”估计概率，而“频率”是大量重复试验的结果。也许，有人会反驳：24000次没有出现，能保证以后不会出现吗？是的，但我们用频率估计概率，只能根据实验的结果,不应该根据自己的猜测来做判断（尽管猜测也是非常必要的）。也许，有人会反驳：硬币直立的情况我亲眼见过。当然，你所见到是你所处的特定情境，现在让我们一起来关心我们面对的情境：请随机的抛掷硬币，并记下所得的结果。由此言归正传。这也许是一种适当的应对方式，因为它突出了用“频率”估计概率的本质，而又回避了无意义的辩论。是否有更好的，那就不得而知了。通过上述三个案例：等腰三角形、轴对称变换、概率的意义，对如何养成教学智慧，我们可以提出如下的建议了。一、要加强对教学实践的反思，教学智慧来源于教学实践。教师讲了什么，学生有什么反应，如何应对，应该成为我们课后必须思考的问题。有关“概率的意义”的事件就是如此。象这类问题，老师往往很难做出恰当的回答。但只要我们具备反思的意识，就会有新的见解。不断积累，灵活应对的能力就会不断提高。运用之妙，存乎一心。何况，能够即席应答其实并不重要，在很多情况下也是不可能的，重要的是不能回避回题，不要因为小子“率尔而对”，而“夫子哂之”。二、在强势文化面前要有理性的思考。这里的强势文化包括传统文化和主流文化。比如“等腰三角形”的案例，如果我们只满足于表象，就只能人云亦云，既不可能有实效，也不可能有个性，更不可能有创新。而实效、个性、创新，正是教学智慧的基本属性。在一些标榜新理念的教学中，只顾形式、热闹和过场，而不考虑效果如何，给课程改革带来了不好的声誉，这是值得我们警惕的。三、对教学要有全面的认识。教学是什么？有专家指出：教学是科学，科学的关键词是探索；教学是哲学，哲学的关键词是思辨；教学是技术，技术的关键词是设计；教学是艺术，艺术的关键词是鉴赏。品味一下本文有关“等腰三角形”的设计，它是设计，也是探索和思辨，更蕴含着对理性美的鉴赏。把握了这四个关键词，我们就可能在教学实践中不断追求，止于至善。四、要真正尊重学生。以学生为主体，教师是发现美的评价者，通过评价来提升学生。因为尊重学生，你才可以意识到“扎针”就是找对应点，你才不会把“投掷硬币有三种结果”视为无理取闹。从智慧的角度来审视教学，教得如何并不重要，重要的是学生学得怎样。教是为了成就学，甚而言之，可以有无教之学，不能有无学之教。当教懂得为学让步之日，也许就是教学智慧滋生之时。正因为如此，我们在设计“等腰三角形”的教学时，不是设置铺垫，让学生顺利地看到结果，快捷地找到思路；而是创设情境，迫使学生通过思维努力来抵达目标。“设置铺垫”，强调的是教的技巧；“创设情境”，才突出了学的动因。为了学的动因我们可以放弃教的技巧，这就是我们追求的境界。五、远离功利，宁静才能致远。教学智慧的生成需要远离功利吗？笔者一介俗人，没有说清这个道理的境界，还是让我们读读中央教科所田慧生先生关于“教育智慧”的论述吧！参考文献1.田慧生，走出缺乏教育智慧的困局，中国教育报，2007.02.082.裴光亚，数学教学中的艺术，中学数学，2002.11课本的欣赏裴光亚课本是实现课程目标、实施教学的重要资源。在第八次课程改革前的漫长岁月里，它曾被提到不适当的高度，成为教师和学生顶礼膜拜的对象。时至今日，我们对课本才有了新的认识。课本不是金科玉律，不是真理的化身，甚至也不应当成为学生学习的模仿对象。它只是为学生的学习活动提供了基本线索。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程研究、建设和资源开发的重要力量。对于课本提供的基本素材和线索，我们可以调整、重组，可以超越甚至颠覆。只要你对课本的处理不偏离数学的本质、有利于学生的发展，任何尝试都是值得鼓励的。问题是，当我们具备了对课本的批评意识之后，我们还缺点什么？当我们对课本由只能“仰视”到“平视”抑或还可以“俯视”的时候，我们对课本应该持怎样的态度？我以为，我们应该懂得欣赏。为什么呢？因为课本是教育理念的载体，我们可以从中获取教学的智慧。因为只有我们具备欣赏能力的时候，才可能同时具备批评的能力。因为只有当你欣赏课本的时候，你才能享受到运用课本的愉悦。还因为你对课本的欣赏必然会感染学生，从而激发学生的学习兴趣。不论我们如何处理课本，它都是学生学习活动的出发点，你的教学智慧、批评能力、作为学者兼教者的情感以至学生的感受，都将从课本开始。现在，让我们来试着欣赏课本。以人教版义务教育课程标准实验教科书数学为例，本文不谈它的设计理念和特色，也不把它与大纲教科书作宏观比较，只是从一些具体的东西，一些细节入手。初中课本的第1节“正数和负数”，第一句话是：“数的产生和发展离不开生活和生产的需要。”它与我们通常的说法似乎有点不同。为什么不说：“由于生产和生活的需要，产生和发展了数。”如果这样换一下，就有些逊色了。因为从数学的发现和创造过程来看，数的产生和发展不只是实际需求的结果，也是数学内部矛盾作用的结果。对初一学生来讲，认识到这一点，当然是后话，课本却由此留下了空间。三个字“离不开”，境界就出来了。再看“点、线、面、体”一节。“夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象。天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象，线和线相交的地方是点。”光线、焰火画出的曲线，并不是线，只是给我们线的形象。星星、地图上的城市，并不是点，只是给我们点的形象。不难解读：现实世界中本来就没有线和点，但线和点又是现实空间中的抽象物。我们在现实世界中遇到的点和线，只是近似于“理想”世界中的“理想”事物。这是多么简捷、深刻而又富于哲理的美文。让我们想象一下光线，它正划过无垠的苍穹，体现的是无限延伸的特征；再想象一下地图上的城市，它在地图上只是一个位置，与这个城市的大小和形状无关。它们的象征意义，难道不值得我们品味再三。同样地，还有角的形象、相交线的形象、平行线的形象等。正是“形象”一词，使得多少无法言说的概念被我们的学生所意会。关于“有理数加法的运算律”。课本是由“思考”引出的：“我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？”在学生看来，这似乎不是一个问题，但却是代数学中的基本问题。如果仅仅是为了“理解有理数的运算律，并能运用运算律化简运算”这一具体目标，有必要提出这样的问题吗？为什么要在学生不是问题的地方提出问题呢？这样一品，我们才可以体悟到课本的韵味。以上三例说明，在我们的课本中，确有许多句子，虽是微言，却含大义。如果我们再观察一下课本中从“引文”到“定义”的微妙变化，也是很有趣味的。以“函数”为例。课本章头语从“万物皆变”谈起，列举行星、人体细胞、气温等现象后指出：“这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。”接着说：“为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结出一个重要的数学工具函数，用它描述变化中的数量关系。”而在正文中，函数的定义是：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。”从现象到定义。我们关心的现象是：一个量随另一个量的变化而变化。定义是：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与其对应。由“变化而变化”到“对应”，在数学史上也有过这样的经历，我们今天认识函数的过程，正是历史的一个缩影。有趣的是：章头语说“行星在宇宙中的位置随时间而变化，”，为什么不直奔主题，说：“行星在宇宙中的位置都与唯一确定的时间对应，”？正是在这个过程中，我们才可以体会到：函数是描述客观世界变化规律的数学模型；但“变化”不是函数的本质，函数的本质是“对应”。上面是关于句子的品读，下面我们来品读一下结构。还是从初中的第一章说起。“有理数的加减法”。首先从加法的几何意义出发，用数轴表示两次运动及其结果，引导学生从不同类型的七个算式中发现加法的运算法则。加法法则是发现的，运算律是通过实验得到的，减法法则是根据“减法是与加法相反的运算”推演出来的。既有观察、实验，也有验证、推理，根据具体内容的特征选用不同活动。再看“有理数的乘除法”，由于它与“有理数的加减法”是同构的，因此采用了同样的处理方式。“具体问题具体分析，这是马克思主义活的灵魂”。该如何处理教学内容，这不是很好的范例吗？再来看一元一次方程。它的展开过程是：从生活中的现实问题出发，通过数学建模得到方程，使方程形式化，并探索它的解，回到现实问题的解决。这正是我们在课程改革中提倡的教学模式，即初中学段的教学应结合具体的教学内容采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，。这和原来的展开过程是不同的。原来的展开过程是：首先是形式化的方程定义，然后是方程的解法，最后是方程的应用。把新旧课本比较一下，就会发现，课标下的教材更能体现方程思想的核心：建模与化归；更能体现方程的本质意义：方程是含有未知数的等式，这只是形式化的定义，方程的本质是用等号将相互等价的两件事情联立，是刻画现实世界的一个有效的数学模型。教学设计中，我们常常犯难，素材如何收集？其实，课本也给了我们启示。在“一元一次方程”中，有来自生产、生活中的现实问题，有来自契诃夫小说家庭教师中的“算术难题”，也有来自数学史文献纸莎草文书中的著名问题。它们的背景不同，教育价值也不尽相同。契诃夫难题，把算术解法和方程解法进行比较；纸莎草文书中的问题，是虚构的，但有历史文化的厚度。为了说明数学问题，我们需要现实的解释，但有时又必须虚构。是运用“历史经典”还是“闭门造车”，其教育价值是不同的。品读这些材料，我们在收集素材时就有了更加宽广的视野。在教学设计中，我们首先关心的是教学价值，教学价值是教学设计的灵魂。那么教学价值从哪里挖掘呢？还是让我们来看看课本。举例如下：例1 “平面直角坐标系，有序数对”引言中两段文字。第一段影剧院的座位问题：如何对号入座；第二段，印刷错误的位置，同学在教室中的位置：你怎样告诉同学？你明白通知的意思吗？这说明，“有序数对”既是确定位置的需要，也是交流的需要。例2 “函数的图象”中的第一段：“有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。即使对于能列式表示的函数关系，如也能画图表示则会使函数关系更清晰。”这段话，把图象的必要性、优越性都说了，同时“如也能画图表示”还暗示了可能性是一个问题。这段话说得多好啊！好多教材，在谈到“函数图象”的时候，只是把它和解析法、列表法的优越性进行比较，诸如“用解析法表示函数关系的优点是：。用列表法表示函数关系的优点是：。用解析法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。”其实，这样的表述是不够的，因为有些函数只能用图象来表示。少数教师在备课时，每当涉及教学目标、教育价值的问题时，总是借助参考书，致使这些根本的东西与教学流程割裂开来。因此，我们提倡品读课本，在品读的过程中，我们才能感知理性中的具体，抽象中的生动，宏观中的朴实。不只是教育价值的层面，课本还有教学艺术的示范。比如“数据的代表，平均数”：为了讲加权平均数，课本给出某市三个郊县的人数及人均耕地面积，用表显示，问题是求这个市郊县的人均耕地面积。接着提供了小明的做法：三个县的面积和除以3。由此展开讨论，从而得到“加权平均数”的概念和求法。从学生已有经验出发，从学生可能的错误开始，通过讨论抵达真理。这样的教学不就不数学活动的教学吗？当我们欣赏课本的时候，我们内心的美感也在升华。当我们走进课本的时候，课本也会敞开心扉。品读句子，方可体悟微言大义；品读结构，更可吸取教学智慧。课本是我们须臾不可离开的东西，不论是解说它、批评它、还是超越它。意识到我们在与美相伴，不亦快哉！对“知识脱节”的反思裴光亚我们还是从人教社2005年版的教材谈起。关于“一元一次方程”，被安排在第二章，第一章是“有理数”。这和大纲下的体系是不同的。大纲下的教材先讲“代数的基础知识”、“整式的加减运算”，然后才是“一元一次方程”。这种不同的安排，遭到不少教师的非议。认为代数式、合并同类项、去括号和整式加减法的运算法则，都是“一元一次方程”的预备知识，“一元一次方程”的教学应该建立在这些概念和法则的基础之上。现在这些基础没有了，我们该如何教学？于是，很多教师在讲“一元一次方程”之前，补充了相关内容。于是，人教社在修订时，增设了第2章：“整式的加减”。这就是“民意”，也是文化的威力。因为在我们的教学文化中，认为学习数学就应该这样循序渐进，就应该是累积式的,要“一点一点的学知识”，那种“知识脱节”的现象是不能容许的。学习数学当然要考虑数学自身的特点，遵循数学本身的逻辑。先要知道字母可以表示数，然后才能讲方程；先要会整式的有关运算，然后才会解方程。这只是数学本身的逻辑，它指示我们教学中应该注意什么，突破哪些关节点。但学生获得知识的过程并不完全是这样的。我们可以先讲“整式的加减”，也可先由“一元一次方程”展开。为什么可以先讲“一元一次方程”呢？让我们来看一看：方程是什么？方程是含有未知数的等式。这只是形式化的定义。方程的本质是，它用等号将相互等价的两件事情联立起来，是刻画现实世界的一个有效的数学模型。它所展示的是建模的思想。因此，方程的教学设计，从一开始就应该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而经历解决方程问题的全过程。先是把现实情景用自然语言等价地表达出来，然后用数学符号等价地表达出用自然语言表达出来的事情。也就是用等号将相互等价的两件事联立起来，其中的未知数要用字母来表示。一是列等式，一是用字母表示数，这是学生在小学就有过的经验。我们为什么不可以充分的运用这些经验？不可以通过恰当的问题情境使这些经验自动的内化为知识，而一定要作为基础来夯实呢？我们来看一看，正是在根据实际问题列方程的过程中，我们有了用字母表示数的需要：问题中有未知数，我们如何表示？可不可以用诸如“？”的符号或者文字词汇来表示？在这样的情境中，我们不难找到恰当的答案。也许，这样的设计不如“用字母表示数”的专章来得深刻，但却可以从中看到“用字母表示数”必要性，甚至是不可替代性。比如用“？”或文字词汇来表示未知数就面临着两个问题：一是不够简捷，二是不便像数一样参与运算。不能参与运算，如何救出这个未知数？“用字母表示数”就在这样的追问中萌生了。作为“用字母表示数”的教学，难道有比这些更重要的吗？一旦有了“用字母表示数”的概念，由现实问题到方程，只是一个语言的转化。方程只是我们所提出的问题的一个记录，只是阐述了一个事实，没有经过任何加工的事实。现在有两种方案，一是先讲代数式表示简单问题中的数量关系，二是在讲方程，即在建立等量关系的情境中生成代数式模型。试想一下，是面对我们需要解决的问题，让学生把实际问题中的数量关系描述出来，还是先设计一些背景，让学生用代数式表示出来，更能激发学生的探究欲望呢？列方程是有实际问题需要解决，列代数式是有实际背景要用数学语言把它描述出来。两相比较，那一种更能启动学生的思维，更有利于作为“问题情境”？接下来，我们看如何解方程。在方程中有未知数，而我们要想知道的就是这个。要把它求出来，而此时我们又没有一套现成的规则，这就是“问题情境”。你看，我想得到它，怎么得到它呢？不知道。这就需要探索，学生的求知欲就是这样激发起来的。下面我们来探索。探索的目标很明确，就是要把这个求出来。怎么求，我们来考查方程的特点：如果关于的有多项，比如方程中含有式子怎么办？当然是合并。因为这里的虽然是未知的，但却有明确的意义。比如购买计算机，前年是台，去年是2台，今年是4台，一共是多少台？当然是7台。这就是整式的加法，合并同类项。根据的实际意义得到它的结果，不是更有助于学生的理解吗？为什么要把“解方程”和它的实际意义割裂开来，说“根据整式的加法法则，7”，不可以从解方程的过程中概括出整式的加法法则呢？难道我们在讲“整式的加法法则”时，不同样需要一个现实的模型？让我们继续分析。如果方程两边都含有未知数怎么办？你不是要解出，不是希望等于一个确定的值吗？两边都有怎么可以呢？把它们弄到一边去。这就是移项。对于的系数，对于括号，都是如此。在这一过程中，你发现了知识的脱节吗？知识本来就应该是在情境中、在探索中生成，在应用中深化的。为什么一定要补充呢？我们在补充的过程中，可能失去得太多。不同的认识，带来了不同的教育方法和态度。在一些人看来，知识是一些结论和既成的经验，是依靠传授的。而在另一些人看来，知识既是一些认识结果，同时又是别的什么，是一种过程、态度和方法，是走向未来的动力，可以通过传授获得，也可以在探究问题的过程中动态生成。这样，如何使学生得到知识，也是大相径庭的。前者把知识灌注给学生，而不问学生在接受灌注的过程中，内在的发展动因可能被消蚀；而后者在学生获得知识的同时，始终把人的发展，把自主获得知识的能力放在视野之内。现在，我们可以对“知识脱节”论作点评价了。那些认为知识脱节，认为要补充知识的做法，至少有两大弊端： 一、学生获得意义的过程较长，很难真正产生学习的积极性。比如由“用字母表示数、代数式、合并同类项、去括号”到“整式的加减法”，如此漫长的过程，学生很难看到它们的实际意义，看到它们的必要性。即使是“用字母表示数”，非常现实的需要，都因为知识序列的考虑被我们人为的割裂了。直到方程，这些概念才回归到它本来的意义，但此时，这些意义又被已知的法则取代了。在这个不了解意义的活动中，有什么可以引起学生思考的呢？这不能不说是造成学生被动接受的主要原因。事实上，学习积极性最丰富的来源，是对所学内容意义的感悟。二、学生缺乏探究问题的内在需求，很难形成初步的创新精神和实践能力。因为你只有循序渐进的知识序列，没有激起学生想象、思考和情感体验的问题情境。事实上，只有为了达到某种目的，过去的手段与方法已经不够用的情境中才需要思维。思维就是探索和发现新事物。凡是用原有已知的动作方式，用过去的知识和熟练可以应付过去的情况下，就不需要思维，也不能构成问题情境。课程标准强调教学应结合具体的数学内容采用“问题情境建立模型解释、应用与拓广”的模式展开，是非常重要的。英国学者杰夫摩根在社会硅谷：社会创新的发生与发展中，也表达了同样的观点，他说：“一切需求都被满足的稳定的社会是不需要创新的。正如伟大的维多利亚历史学家Lord Macauley所说：因为不满永远存在，所以我们总在进步。不满是创新的一个驱动力。另一个驱动力，便是对现实存在和理想状态的感知”。为了讲方程，我们把一切需要的知识都准备好了，还需要创新吗？不要了。人们可能会问：如此说来，是不是不需要讲“移项、去括号、整式加减”等法则了呢？当然不是，这些东西仍然是代数的重点，但教学的思路变了。原来是把这些东西直接灌输给学生，而且一次到位。这里的设计呢？首先是让学生在现实的情境中，感受这些知识的需要，并在原有知识四则运算的基础上形成关于它们的感性经验。然后，我们再来讲它。此时，课题的必要性，学生的经验，都有了，我们的任务，就是把学生的经验上升为规律性的东西。试比较一下，哪种方案更符合学生的认识规律呢？我们的话题是“解一元一次方程”，人们可能会比较，哪一种方案更有利于实现这一课题的教学目标呢？解一元一次方程，只要将含有未知数的项放到方程的一边，不含未知数的项放到方程的另一边，就可以解出未知数的值，这是解方程关键，而解的具体过程只需用到四则运算。为此，在教学时，必须突出化归这个重点，至于合并同类项等并不是这里的重点。看看本文关于解方程的探究过程，没有“移项、去括号、整式加减”等所谓“预备知识”支撑的探究活动，难道不是更有利于化归思想的形成吗？让我们回到原点：“知识脱节”了，还是没有“脱节”？确实是一个值得反思的问题，这里也许不存在对错的判断，但有理念的区别和境界的高下。参考文献1.英杰夫摩根.张晓扬译.社会硅谷:社会创新的发生与发展.新华文摘,2007.62.史宁中、孔凡哲.方程思想及其课程教学设计.课程教材教法 2004.93.裴光亚 数学教学研究的案例 中学数学2002.3数学教师的特有语言与个性特征裴光亚2006年武汉市中学教师晋升职称考试中有这样一道试题:“在中学数学教学中，我们常对一些概念“不作严格的定义”，或者“避免抽象地对它们下定义”，其中的理由是：。”“不作严格的定义”，“避免抽象地对它们下定义”，这是教师用书中常见的句子，也是教学研讨中流行的语言。为什么这样呢？难道数学不要“严格”，不要“抽象”？抽象性、严谨性和广泛的应用性，不是数学的特点吗？当然也有数学家不这样看，比如著名的数学哲学家拉卡托斯就把数学看作证明与反驳的交互过程，认为数学从来不是严谨的。拉氏的话也许不无道理，但证明与反驳的交互过程，不也正是在向“严谨”、“抽象”的目标前行吗？也就是说，你可以认为数学严谨，也可以认为数学不严谨，但没有人去“不作”它、“避免”它。数学家不会，需要数学的经济学家、工程师也不会，但数学教育家和我们数学教师不同，只有我们才会说：不做严格的定义，避免抽象的定义。因此，我们说，这是我们数学教师特有的语言。这一特有语言所反映的，正是教学研究的本质。为了有效地实现课程目标，我们必须正视教学中的矛盾，首先是课程内容与学生经验的矛盾。当学生的理解力不适应数学的抽象性时，我们应该怎么办？如果我们无视矛盾的存在，学生失去的将不仅仅是对相关内容的理解，而是对数学的感受、学习数学的愿望，同时也就失去了达成各种目标的可能性。这是非常可怕的。正是在这样的两难选择中，我们站在了人本立场上，维护学生的天性，而暂时牺牲数学的抽象性。比如，乘法运算的法则“负负得正”，只是一种规定，数的运算法则本来是规定的，而不是推导出来的。先规定运算法则，然后研究运算律是否成立。当然，怎样规定运算法则，不能是任意的，要看数系本身的性质。为了反映客观实际的某种数量关系而产生一种数系。它的运算法则的规定，应能反映这种数量关系，从而解决有关的实际问题。这样看来，从理论上说，不讲为什么，只说负负得正是一种规定，让学生记住并能运用，是正确的。但数学理论上正确的东西，落实到教学上并不妥当，因为它不符合学生的学习心理：只是抽象的规定，而完全没有现实意义的东西，对学生的思维发展是不利的。正是如此，在我们的课本上，在我们的教学实践中，才设置了种种情境，构造了许许多多的模型，从现实需要中抽象出“负负得正”的规律。这里，本来是抽象的代数结构，被我们生活化了。这里的评判标准不是数学，而是数学教育。再比如，几何中的直线。直线是一个抽象的概念，也是一个基本的概念。从数学的逻辑来讲，当然应该从基本概念出发，研究它的性质，一直推演下去。几何是公理体系，公理体系就应该以公理为起点。但实践证明，这样做是不行的。开始就是基本元素，就是公理，就是抽象的产物，必然会扼杀大多数学生的想象力、对数学的感受，使几何入门成为数学学习的瓶颈。这就是矛盾：数学的本来逻辑不适应学生的心理基础。怎么办？只好从三维空间开始，让学生感受一下多姿多彩的图形，由立体到平面。因为三维空间是我们赖以生存的空间，是学生首先感知到的。几何学习应该从直观感知开始：流星划过的光线，面和面相交的地方，木工师傅砌墙的参考线等，都给我们以线的形象。我们说“线的形象”，是因为它们都不是几何中的直线。但正是它们，可以建立起生活世界与几何世界的联系，有利于形成直线的概念。又比如，我们讲函数，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。函数的教学，不应只关注对其表达式、定义域和值域的讨论，而应选取具体实例，使学生体会函数能够反映实际事物的变化规律。函数教学应该从丰富的实例出发，然而对初中生来讲，丰富的实例会给学生留下怎样的印象呢？它在让学生体会函数反映事物变化规律的同时，也会使学生产生一些错觉。如自变量不同，因变量也不同，函数值随的变化而变化；又如确定函数与自变量关系的法则是有规律的，这个规律总可以用一个式子描述出来。我们知道，这些都不是函数的本质，“变化”不是函数的本质，可以用式子表达也不是函数的本质，“对应”才是函数的本质。我们可不可以为了这个本质从“集合”和“对应”出发呢？如果那样，从数学的逻辑来讲，当然是很好的。可是，学生呢？对教学来讲，再好的数学，不满足学生的接受心理又有什么用？回到前面的考题：“其中的理由是”什么？我们现在可以回答了。因为数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的经验出发。是这个理由吗？是的，但还不够。与之相关的理由就是避免因形式化遮蔽数学的思维活动。形式化是数学的基本特征之一，但形式化所指向的是数学的终结，而不是创造，数学教学要培养创新意识，就得有过程，有形式化之前的东西，就要允许想象存在，允许直觉存在，允许非逻辑的东西存在。而数学的严密性正是这些东西的关卡，所以，我们需要“避免”。今年是欧拉诞生300周年，听著名数学家齐民友先生讲，欧拉的很多成果都不是用严格的方法推演出来的。比如，他在寻求贝努利级数和时, 曾经把正弦函数的幂级数展开式看成无限次多项式, 通过类比得到正弦函数因式分解的无穷乘积公式. 从而把乘积展开后与幂级数的三次幂比较系数, 得到.韦达定理是关于多项式方程的，居然被欧拉运用到了无穷级数中。这个推演过程是不严格的，甚至是错误的。正是因为欧拉超越了严格性的束缚，才成功地解决了贝努利级数求和难题。数学研究需要超越严格性的束缚，数学教学更是如此。前者超越束缚，是为了抵达自由王国，从必然王国到自由王国，是创新的必由之路；后者超越束缚，是为了回归自由状态，回到知识得以萌生、形成和发展的地方，它也是教学焕发生命活力之所在。因此，我们说，“不做严格的定义，避免抽象的定义”，不仅是为了回避知识上的难点，而是实现三维课程目标的需要，也即除了理解知识的需要，还有培养能力和造就情感的需要。人们总是在说，教学的起点必须严格，第一次教给学生的概念必须是准确的。其实，怎么可能呢？不难了解，当学生第一次接触“点”时，一定不是几何中的点；当我们第一次向学生讲“函数”时，一定很难避免“当不同时也不同”的信息。正如维特根斯坦所说：人们一定是从错误开始，然后由此转向真理。从错误到真理，这是人们认识事物的基本规律，也是教学的基本规律。数学教学研究首先关心的就是这些问题，就是把学术形态的数学变为教育形态的数学。在这一过程中，我们总是把严格的东西变得直观，把抽象的东西变得具体。“不作严格的定义”， “避免抽象地对它们下定义”，教学研究的特点，教学研究的旨趣，教学研究的辩证法也就在这里。这样一来，话题就可以展开了：是什么让你不严格，你凭什么可以不严格，不严格到何种程度？你还要认识到，不严格是被严格管着的，要为抵达严格预设通道。上述关于直线和函数的例子，也告诉我们，教学总是从不严格出发的。现实世界中线的形象关于直线是不严格的，学生生活经验中的变量关系关于函数也是不严格的。但我们必须从不严格出发，抵达严格。如上所述，“不作严格的定义”，“避免抽象地对它们下定义” ，是我们数学教师特有的语言。这样的语言反映了我们的专业特点。不同于数学家和其他专家的特点。我们自然要问，作为一个中学数学教师，专业特点赋予我们的个性是怎样的呢？请允许我从一个故事说起。“三位著名人士：文学家，物理学家，数学家，结伴到云南，在一块草地上，看到了一只羊。文学家非常惊讶，直抒胸臆：哎，云南的羊是黑的。物理学家虽然惊讶，但比文学家要理性得多：在云南，某地的一块草地上，有一只羊是黑的。那么数学家会怎么说呢？数学家说：在云南，存在一只羊，至少一半是黑的。说“存在”，这是数学家对世界特有的看法。为什么说只有一半是黑的？因为另一半他还没有看见呢！这就是数学的态度，不感情用事，不含糊马虎，不武断轻言。艺术家凭感觉，感觉的情感色彩是他的生命。于是才有了飞流直下三千尺，疑是银河落九天这样的诗句。科学家也有感觉，但与艺术的感觉不同，其特点是理性的，客观的，是抑制主观感情色彩的。科学家甚至不相信自己的感觉，害怕自己的眼睛、耳朵、鼻子歪曲了客观事物，因而发明了不受主观影响的各种仪器。数学家不相信感觉，甚至连那些仪器也不相信，数学家只相信证明。人们常说：眼见为实。这是普通人的原则，不是数学家的原则。物理学家依靠实验和归纳推理得到真理。数学家说：这不是真理，这只是猜想。物理学家虽然看到的只是羊的一半，却可以用一半来推测全体。数学家说：不行，你要说它是一只黑羊，你就得证明。哥得巴赫猜想，经过了多少次检验，已经是一个天文数字，人力不够，再借助计算机，尽管如此，它还是个猜想。艺术的最高权威是美，科学的最高权威是实验，数学的最高权威是证明。”现在的问题是，如果有一位中学数学教师也与上述三位名士相伴，他会说什么呢？我以为，他应该说：哦，云南的羊是黑的。不，我只看到了一只。也许还有，也许另一半不是黑的。他为什么会这样表达呢？因为一位中学数学教师，应该具有文学家的情感，但缺乏文学家的浪漫；尊重科学家的实验，但缺少科学家的自信；推崇数学家的表达方式，但少了数学家的理性。他把情感引为动力，把实验作为过程，把理性视为目标。他始终不渝地引领学生向严格前行，而又总在避免严格；他相信观察与实验的价值，80的时间都在作合情推理，却始终坚持证明的必要性，他用各种方式得到结果，诸如文学家的“直觉想象”、物理学家的“操作实验”，但只要有可能，都得证明。他在课堂上组织学生实验、引导学生归纳，多少有点物理学家的作为；他讴歌数学之美，竭力让抽象的东西具体、让严谨的知识生动，多少有点文学家的韵味；他没有因为避免抽象而放弃对抽象性的欣赏，淡化形式而放弃对形式化的追求，永远解不开的是数学家的情结。他兼容并蓄，好像没有自己，但把一切都引为知己。他既要美，也要实验，还要证明，三个权威都要。但鱼和熊掌不可兼得，因此，他要得很少。他在每一个领域走马观花，可以与每一个领域的专家讨教。只有对教学他才认真观察，不断反思。他的心得，没有文学般的感染力，没有科学般的真理，更没有数学般的严谨，有点像老农的耕作经验，或者善良百姓的为人之道，很朴素，很实在，也很有用。但他不自信，时刻准备着，遭遇教育理论的敲打。我想，这就是我们数学教师的专业个性吧。参考文献张顺燕.数学教育与数学文化.数学通报，2005.1，2.为享受教育的乐趣而写作裴光亚怎样写教研文章？这是一个经常被人问及的问题，也是一个无法回答的问题。伟大的文学家鲁迅先生都说：“文章应该怎样做，我说不出来，因为自己的作文，是由于多看和练习，此外并无心得和方法的。”伟大如鲁迅先生者都无心得和方法，渺小如我者怎么会有？鲁迅先生不谈心得和方法，却道出了一个朴素的道理，就是多看和练习。那么，我们自然会问：怎样才能做到多看和练习呢？而且是有意识的多看和练习。这就涉及到为什么而写作的问题。为职称和荣誉而写作，可能有点无奈；为教研的宏大意义而写作，多少有点虚无。为什么写作呢？最现实、最具人生意义也最有尊严的目的，我想，应该是，为享受教育的乐趣而写作。写作教研论文，是一件有趣味的事。趣味在哪里，在闲话初等数学研究一文中，我曾作过这样的描述：“它是清贫者可以负载、孤傲者可以独享的游戏。对数学教师而言，它既是游戏，也是生活，生活与游戏融为一体，游戏人生不再是对人生的亵渎，而是升华，这是数学教师特有的福份。他们从来就没有想到居庙堂之高，也没想到与大师附庸风雅。他们在做，做他们所喜欢做的事。就象一个乐于麻将的人，总是津津乐道于某一牌和得痛快，耿耿于怀于某一局输得惨淡，从来就没想到去申报个麻将几级的桂冠。他们所期盼的，只是得趣，得数学之趣，闲云野鹤之趣，魏晋雅士之趣。她们从诞生的那一天起，就与衣食住行无涉，与功名利禄无缘。吸引研究者的，不是这些身外之物，而是问题本身，问题本身的魅力，问题所指向的理性精神，思考问题所产生的心灵愉悦，探究问题所激发的生命活力。”我上面谈的是初等数学研究，不是教学论文写作。但它们有一个共同点，就是得趣。趣在哪里呢？（1）如前所述，教研论文的思考会把我们指向一些问题。问题本身的魅力，思考问题所产生的心灵愉悦，探究问题所激发的生命活力，都令我们向往。它就象游戏一样，一个好的游戏，为什么能愉悦心灵，使人乐此不疲，浅层次的原因，是它可以分出输赢，深层次的原因，就是它对思维的挑战。而构思论文，正是一种思维的挑战。我们在教学中遇到了问题，如何把这个问题描述清楚？吸引别人的眼球，使别人也感到这是一个问题。如何解决这个问题?用什么方法，可以得到什么结论。如何把你的成果表达出来？说得有理有据，使人信服。解除自己的困惑，引起他人的关注；使自己提升，与他人共享。这难道不是一种乐趣？这是“趣在哪里”的第一个理由。（2）当你在考虑教研文章的时候，需要殚思极虑。这样，一个有意义的东西充实了你的心灵，还有什么烦恼可以困扰你呢？古人云：何以解忧，惟有杜康。杜康是否可以解忧，我没有体验，但写作确实可以使人感受到心灵的抚慰。心灵的抚慰，是很多文学创作者的体验，也是论文写作者的体验。这是第二个理由：教研论文写作不仅可以激活思维，还可以抚慰心灵。（3）论语第十二篇记载：“曾子曰：君子以文会友，以友辅仁。”通过教研论文来结交朋友，难道不又是一趣？子曰：“有朋自远方来，不亦乐乎？”从远方来了一个朋友，有什么值得高兴呢？因为有共同的话题和趣味。教研论文使我们结交了很多朋友，这才是君子之乐。（4）教研论文写作和初等数学研究的不同之处在于：初等数学研究离“实用标准”更远，初等数学中的很多经典问题随着时代的进步可能被遮蔽了，而教研论文写作更贴近我们的工作，面对的课题往往是我们当下需要回答的，你可以把它看成我们教学不可分割的一部分。有人说：中学教师太忙，哪有时间写论文？这话是不妥的。你很忙，你上课没有？论文的灵感主要产生于课堂教学，课堂教学的每一情节，都可能生发论文的灵感。你很忙，你批改作业没有，论文的很多素材都是在批改作业的过程中获得的。你很忙，你备课没有，备课中的一个情境，一个片段，一个顺序的重置，一个例题的讲法，一个活动的安排，一个引言，一个结语，一个高潮的预设，所有这些构思都可以成就一篇论文。作为一个教师，论文写作与忙无关，完全取决于你的愿望。你看，我们工作的每一个环节都在生产论文。当你把我们的工作和论文生产融为一体的时候，你就会感到我们在创新，我们在思考，我们的成就感，我们所享受的表达的权利。由此可见，论文写作提升了我们工作的意义，以至生命的意义。“无为网上充斑竹，有感纸面砌字符；天酬千金不觉喜，润格三十竞得意”。不论是有为还是无为，都可以乐在其中，这是何等的趣味！论文写作不是为了别的，而是为了享受教育的乐趣。这在关于论文写作的论题中，比什么都重要。如果有了这样的意识，有了写作的愿望，其它的问题就迎刃而解了。世界上没有那一个文学家是在按写作指南写作，也没有谁在比照语法修辞说话。教研论文的写作也是如此，你有了愿望，有了写作的冲动，也就会有文章。上面说的是关键，也是前提。在这个前提下，最重要的是什么呢？是素材。也就是要勤于积累，才可以厚积薄发。素材从那里来？从教学活动中来，从我们的切身体验中来。举例来说：（1）解题。一位数学教师应该对解题具有很好的“味口”，当我们获得题目答案非常容易的今天，这种品质更是弥足珍贵。解题的时候，你是怎么想的，经历了怎样的挫折，为什么要突出思想方法，为什么不能追求题型套路，如何启迪学生的思维，学生为什么会这样想？如此这般的资料，我们都可以从解题经历中获得，或者从解题中得到线索。当你有了解题的亲身体验后，才能透析学生的解题思路，才会对学生的解法具备职业的敏感，从而也才能有效地为研究学生的思维活动积累素材。（2）备课。就是思考一节课怎么上，在这日复一日的构思中，多少令人满意的方案脱颖而出。其中的方案，方案形成的思路，实施方案的情境，整合在一起，既又过程又有成果，它们正是教研论文的基本要素。那些优秀课例就是这样产生的。不仅如此，正是这样的经历，你才能与其它优秀课例的创作者进行心灵对话，懂得如何欣赏，如何改进，如何比较，如何创造。（3）上课。教学中常有这样的情况，某一教学环节并不是我们事先设计的，但由于特定场合、偶然事件、心灵碰撞、思维交锋等因素的作用，动人心魄的效果出现了。你可能从来就没有想过自己还会有如此的潜能发挥和灵感闪现，这就是我们所说的“动态生成”，是非常珍贵的素材。（4）讨论。教研组活动时，对某一问题的理解，某一内容的教法，往往会有不同的意见，甚至争论。容易引起争论的地方，也就是需要我们正本清源的地方。（5）批改作业。批改作业是我们收集素材的重要方式。学生的创造力，学生的思维特点，教学的反馈，教学的适切性，都可以通过作业表现出来。学生的智慧正以这种特有的方式滋养着我们。学生作业中的错误，特别是带有普遍性、甚至必然性的错误，往往是教学研究的起点。(6)读书。当我们看到某篇文章的时候，可能赞同其主要观点，想作进一步研究；或者，不同意其中的观点，想来一番商榷。这样的启迪，无疑是重要的。更为重要的，我们还可以从专业以外的书籍中获得在本专业内鲜见的思想，成为我们的某种创见。比如拙文数学教学中的艺术就得益于福建师大孙绍振教授关于“真、善、美三维错位”的理论，而孙先生的贡献在于把康德的审美价值引向了文学创作领域。如果不读孙先生的文章，我不可能有那样的见解。这样的例子还可以举出很多。其中许多教学现象，情节的出现、灵感的产生往往稍纵即逝。当你与学生谈话，与同行交流，听专家报告，听家长意见时，都会有很多想法不期而至。关键是要善于捕