谈初中数学教学中学生合情推理能力的培养.doc

谈初中数学教学中学生合情推理能力的培养【内容摘要】：长期以来，初中数学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，它的实质是“发现”。因此，课堂教学中，教师应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养。它不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生创新意识的培养和创新能力的提高。【关键词】： 初中数学教学 合情推理能力 培养合情推理的存在：“早雾晴，晚雾阴”、“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”这正是我们对生活中这种现象观察统计所得到的合情推理，法官断案，医生诊断病情等，在现实社会中，合情推理广泛存在日常生活、学习和工作中，已遍布到每一个角落。人们都在有意或无意中使用合情推理，学习掌握合情推理。课堂标准中指明：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的演绎能力，忽视了合情推理能力的培养。科学结论（包括数学的定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确可错误。应当指出，数学需用要演绎推理，更需要合情推理。在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式叫做推理，当然推理有：演绎推理、合情推理等。我过去了有一种困惑：认为新教材轻视了对概念的准确定义以及定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，这叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：“三角形内角和定理”教材中没有加以证明，而是让学生用剪纸拼接实验来加以说明又如教材中轴对称图形、线、底边上的中线、高线重合（三线合一）等，教材中没有加以证明，就用折纸的方法使学生确定它们的存在。这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。通过认真解读数学课程标准而消除了误解，课标中提也“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和步调的演绎推理能力，所谓合情就是从已有的知识和具体的知识和具体的事实经验出发通过观察实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推也可能性结论的推理，这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳作出猜想”。数学家波利亚说：“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或几个已有的知识和经验，在某种情境和过程中推也可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做也的探索性的判断，因而在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，是一个值得探讨的课题。当今，教育领域正在全面推进，旨在培养学生创新能力的教学改革。但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作也证明之前，先得不断检验、完善、修改所得出的猜想，还得推测证明思路，你先得把观察到找的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试，在这一系的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理，合情推理的实质是“发现猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学教育家波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”“先猜后证这是大多数的发现之道。在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。”在数学教学中发展学生的推理能力时，往往首先想到是几何教学代数”事实上数学的各个分支都充满了合理推理，其广泛在于“数与代数”“空间与几何”“概率与统计”“实践和综合应用”之中。一、在“数与代数”中培养合情推理能力在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”一一公式、法则、推理律等。因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算下，能说出运算中每一步依扭所涉及的概念运算律和法则，代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。如：有理数加法法则是以学生有实际经验的向东向西问题用不完全归纳推理得到的，教学时不能只重视法则记忆和运用，而对产生法则的思维一带而过，又如，对于加乘法各运算律也都是采用不完全归纳推理形式提出的，重视这样的推理过程（尽管不充分）既能解释算律的合理性，又能加强对算律的感性认识和理解。再如：初中教材是用温度经过形象类比和推理引人数学数轴知识的。求绝对值-5=？+5=？-2=？+2=？-3/2=？+3/2=？从上面的运算中，你发现相反数的绝对值有什么关系？并作出简捷的叙述。通过这个例子，教学可以培养学生的合情推理能力，再结合数轴，可以让学生初步接触数形结合的解题方法，并且让学生了解绝对值的几何意义。在教学中，教材的每一个知识点在提出之前都进行该知识的合理性或产生必然性的思维准备，要充分展现推理和推理过程，逐步培养学生合情推理能力。二、在“空间与图形”中培养合情推理能力在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理。又要重视合情推理。初中数学新课程标准关于空间与图形的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中。要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂直定理及推论。利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角之间的位置关系；利用直观操作发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间位置关系，结合教材勾股定理讲解合情推理。这是新课标实施前，勾股定理我们可以发现其实通过严谨的演绎证明而得到勾股定理的结论。将四个全等的直角三角形拼接成边长为a+b的正方形其内接的四边形经过证明为边长是c的正方形，通过面积法得到，再由完全平方公式得到，最后通过等式性质得出，发现由条件到结论是一步一步证明而得到，每一步需要的是公理，定理、等式的性质等作为支撑。北师大版勾股定理。图1-3图1-4你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流。（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？议一议（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（1）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。（1）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。刚才的结论对这个三角形仍然成立吗？根据教材讲解如下：教科书设计在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理活动，图1-1，图1-2中正方形的面积是比较容易得到，在问题设置地鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，尝试求出三个正方形的面积，比较这个三个正方形的面积，猜想得到三个正方形面积的关系。在做一做环节中图1-3、图1-4中的正方形稍微有一点复杂，但学生完全可以利用现有的知识观察、归纳、猜想三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，得到三个正方形面积的关系。在议一议环节中学生通过对前面的几个直角三角形三个正方形的面积关系的分析、归纳、已经得到Sc=SA+SB再引导学生思考三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，初步发现引导学生思考三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，在此该通过上述过程归纳出猜想，“发现”了勾股定理的存在。学生能够浅晰、有条理的表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据。此时在考一个特例，以使学生确让自己的发现，也可让每一个学生任意画一个直角三角形，验证自己的发现，并在此基础上得到最后的结论-勾股定理。若学生有能力可通过该章节课题研究来证明勾股定理等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。三、在“统计与概率”中培养合情推理能力统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎?首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。、这个过程是合情推理，其结果只能使绝大多数同学满意。概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、计算器(机)模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。 四、在学生熟悉的生活环境中培养合情推理能力教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力述行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展。但是，除了学校的教育教学活动(以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力。例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。如，观察人行道彩色水泥地砖铺设的方式：像图（1）（2）（3）这样铺下去，第n个图形中有多少块彩色水泥砖?(由不完全归纳法进行合情推理)再观察铺地所用的地砖不仅可以是正方形，也可以是正三角形那么用正五边形的地砖能够没有缝隙又不重叠地铺地码?总之，数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，对于老师，能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件、提升教学水平和业务水平也是数学发现的重要方法；对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。提高学生的数学素质，熟练掌握推理能力，使学生感受到生活、活动中有“学习”，养成善于观