初中数学问题解决的案例.docx

最短距离问题摘要：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题。几何中的最短路线问题是中考热点之一，往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。案例问题：（1）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？理由是？（2）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？请简单证明。解决问题：一 建立几何模型：案例问题（2）可以转化为数学问题： 如图（1），在直线a同侧有，两点，在直线a上找一点M，可使MA+MB的值最小？二 几何模型的解决你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?aAB图1ABaAM图2ABaAMN图3思路分析：如图2，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。设A是A的对称点，本问题也就是要使AM与BM的和最小。在连接AB的线中，线段AB最短。因此，线段AB与直线a的交点C的位置即为所求。如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、AN。因为直线a是A，A的对称轴，点M,N在a上，所以AM= AM,AN= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN中，ABAN+BNAM+BMAN+BN即AM+BM最小。三 几何模型应用：两条直线间的对称题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A地，问他应该怎样走才能使总路程最短。点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A作a1的对称点A，作a2的对称点A,连接AA交a1、a2于B、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为AA。ACBEDBCa1a2AAA第1题图第2题图三角形中的对称题目2 如图,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是_点评：本题只要把点C、D看成基本题中的、两镇，把线段AB看成燃气管道a，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。四边形中的对称题目3 如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点正好是点B，最小值为MB10。MADBCN第3题图第4题图圆中的对称题目4 已知：如图，已知点A是O上的一个六等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，求AP+BP的最小值。点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B在圆上，AB交ON于点p,由AON60, BON30，AOB90，半径长为1可得AB。当点P运动到点p时，此时AP+BP有最小值为 EFGBACBHhAB第5题图1第5题图2立体图形中的对称题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h10cm，底面圆的周长为32cm，A距离下底面3cm请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B,作ACGH于点C,连接A B。在RtA BC中，AC16, BC12,求得A B20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。题目6 长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示， 路线1即为所求。长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。四 几何模型的引申问题1、 已知：如图，A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连结交于P点，若=a，（1）求AP+PB；（2）若点M是直线上异于P点的任意一点，求证：.2、 已知：A、B两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点M。（1） 在上求作一点M，使得最小；（2） 在上求作一点M，使得最大；（3） 在上求作一点M，使得AM+BM最小。3、 如图，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，那么点E、F是否关于AD对称？若对称，请说明理由。4、 已知：如图，点分别是P点关于ABC的两边BA、BC的对称点，连接，分别交BA、BC边于E、D点，若=m，（1） 求PDE的周长；（2）若M是BA边上异于E的一点，N是BC边上异于D的一点，求证：PMN的周长PDE的周长。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。5. 如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_。分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值， 图5 图6由BAD=60，AB=AD，AE=BE知，故PE+PB的最小值为。数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生