北京市西城区2019届高三4月统一测试一模数学(理)试题word有答案.doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家北京市西城区高三统一测试 数学（理科） 2019.4第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集，集合，则集合（A）（B）（C）（D）2若复数，则在复平面内对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限输出 开始否结束是 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为 （A）4 （B）5 （C）7 （D）94下列直线中，与曲线C：没有公共点的是 （A）（B） （C）（D）5. 设 均为正数，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为（A）， xO yW（B），（C），（D），7. 团体购买公园门票，票价如下表：购票人上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A）（B） （C）（D） 8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为 （A）（B） （C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 在等比数列中，则数列的前n项和_10设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为_ 11函数的最小正周期_；如果对于任意的都有，那么实数a的取值范围是_ 12某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为_ 侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1113. 能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是_ 14如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，. 例如，图中上档的数字和. 若，成等差数列，则不同的分珠计数法有_种.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，已知，其中.（）判断能否等于3，并说明理由； （）若，求 16（本小题满分14分） D A BCEF如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值； （）判断线段上是否存在点，使得 平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由17（本小题满分13分）乙 1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示. （）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望. （）记甲组阅读量的方差为. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）18（本小题满分13分）设函数，其中 （）当为偶函数时，求函数的极值；（）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围19（本小题满分14分）已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（）当，且直线轴时， 求四边形的面积； （）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.20（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（）证明：不存在10行10列的完美数表；（）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.北京市西城区高三统一测试 数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2D 3D 4C 5C 6A 7B 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 910 11 ；1213答案不唯一，如，14注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（）当时，由题可知 ，由余弦定理， 3分得 4分这与矛盾，所以不可能等于3 . 6分 （）由（），得 ，所以. 7分 因为， 所以，解得（舍）或. 9分 在中，由正弦定理， 11分 得. 13分 16（本小题满分14分）解：（）由底面为平行四边形，知， 又因为平面，平面， 所以平面. 2分 同理平面， 又因为， 所以平面平面. 3分 又因为平面， 所以平面. 4分 （）连接,因为平面平面，平面平面，所以平面. 则.又因为， 所以平面，则. 故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 6分 则，DABCE yxzF 所以,，为平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 由，得 令，得. 8分 所以. 如图可得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 10分（）结论：线段上存在点，使得平面平面. 11分证明如下：设， 所以. 设平面的法向量为，又因为，所以，即 12分若平面平面，则，即， 13分解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时. 14分17（本小题满分13分）解：（）甲组10名学生阅读量的平均值为， 乙组10名学生阅读量的平均值为. 2分 由题意，得，即. 3分 故图中a的取值为或. 4分 （）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人. 由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3. 5分 且， . 8分 所以随机变量的分布列为： 123 9分 所以. 10分 （）. 13分18（本小题满分13分）解：（）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 2分此时，则.由，解得. 3分当x变化时，与的变化情况如下表所示：00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 5分所以有极小值，有极大值. 6分 （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 8分 对函数求导，得. 9分 由，解得，. 10分 当x变化时，与的变化情况如下表所示：00极小值极大值 所以在，上单调递减，在上单调递增. 11分 又因为， 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零点. 13分19（本小题满分14分）解：（）由题意，得， 解得. 2分所以椭圆方程为. 3分当，及直线轴时，易得,. 且,.所以，显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为. 5分（）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为， 代入椭圆的方程，得， 易得的方程为. 则, 所以，即三点共线. 7分 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立方程 消去y，得. 9分 由题意，得恒成立，故，. 10分 直线的方程为. 令，得. 11分 又因为， 则直线，的斜率分别为， 12分 所以. 上式中的分子 ， 所以. 所以三点共线. 14分20（本小题满分13分）111解：（）答案不唯一. 如： 3分 （）假设存在10行10列的完美数表. 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： （1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表； （2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 5分 完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如