湖南师大附中2015届高三月考试卷(9)

湖南师大附中高三第二次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，若，则与的关系是（ ）A B C D【答案】B【解析】设，则，故2设p：，q:，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）A. B C. D【答案】A【解析】解不等式得：，故满足命题p的集合P=（，1），解不等式得：，故满足命题q的集合Q=，若q是p的必要而不充分条件，则P是Q的真子集，即且解得，故选A .3函数的图象大致是（ ）OyxOyxOyxOyxABCD【答案】A【解析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且自变量趋向于正无穷大时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越大只有选项符合题意.4有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD2，DCBC，则这块菜地的面积为（ ）A B C D【答案】C5用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为（ ）A-5 B2 C-7 D3【答案】C【解析】由秦九韶算法，从而，故选C.6若随机变量X，则E(2X1)与D(2X1)的值分别是 ( )A5,8 B7,8 C5,16 D7，16【答案】D【解析】2，3，E(2X1)2E(X)12(3)17； D(2X1)=4 D(X)=16.故选D.7已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由CED=150，CEO=75，OC=OE，OCE=75，ECF=15，ECF+CFE=CEO=75，CFE=60，在RtCOF中，OC=a，OF=c ，离心率 ，故选D8将三颗骰子各掷一次，记事件A“三个点数互不相同”，B“至少出现一个点”，则条件概率是（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】由题意得事件的个数为，在发生的条件下发生的个数为，所以，故正确答案为A.9定义在上的函数，其导函数是成立，则 ( )A BC D【答案】D【解析】在时，由，得，构造函数，则，函数为增函数，由，则，可得10已知函数，若存在实数、，满足 ，其中，则的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】如图所示，由图形易知，则，令，即，解得或，而二次函数的图象的对称轴为直线，由图象知，点和点均在二次函数的图象上，故有， ，即.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11（极坐标与参数方程选做题）在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则极坐标方程化为直角坐标方程是 【答案】12.（几何证明选讲选做题）如图，是的直径，是延长线上的一点，过作的切线，切点为，若，则线段的长是 CAOBP【答案】2.13（不等式选讲选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 【答案】(二)必做题(14-16题)14【答案】15若点 是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点是直线上的任意一点，为坐标原点，若取得最大值时的最优解不唯一，则点的横坐标是 【答案】-2或116若存在正整数使得关于的方程在上有两个不等实根，则正整数的最小值为 .答案：4【解析】由已知得，而表示上半个单位圆（不包括端点）上的动点与定点连线的斜率要满足题意就要直线与上半个单位圆（不包括端点）有两个不同的交点，此时，若，则，故不存在这样的正整数满足题设要求；若，则存在，使得。从而，故三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若是第一象限角，求的值.解：（1）由所以的单调递增区间为（）. 4分 （2）由，因为所以所以或， 8分 由（），又是第一象限角，所以，所以 10分由，且是第一象限角所以综上，或12分 18（本小题满分12分）长沙市教科所为了解今年全市高三学生数学学习的基本情况，从长沙市各学校随机抽取了一个学校的名学生，将他们在某次全市统一调研测试数学卷得分数据整理后，分成区间，并画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12.（1）求该学校抽取的人数的大小；（2）以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高三学生（人数很多）中任选三人，设表示分数超过90分的学生人数，求的分布列和数学期望.分数解：（1）因为前三小组的频率分别为，由条件可得: 解得 再由，解得 6分（2）由（1）可得：一个高三学生分数超过90分的概率为，所以服从二项分布且的取值为0，1，2，3.即随机变量的分布列为：0123 则（也可利用公式） 12分19（本小题满分12分）如图,已知四边形和都是菱形,平面和平面互相垂直,且(1)求证:Fxyz(2)若是线段上的一个动点，且，二面角的余弦值为，求的值.（1）证明：取的中点F,连接BF,C1F为正三角形，同理，故面 5分（2）建系如图，则，,设面的法向量为则，得，得 8分易知面的法向量可为，二面角的平面角为锐角，设为，则 ，. 12分20（本小题满分13分）已知是等差数列，点在函数的图象上（），且，函数的图象在点处的切线的横截距为.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列的前项和为，求数列的前项的和.解：（1）设等差数列的公差为，点在函数的图象上，所以，由函数的图象在点处的切线方程为所以切线的横截距为，从而，故从而，. 5分（2）由（1）知，所以，因为，所以，有所以，又 ，所以故数列的前项的和为.13分xyAOBCDMN(第21题图)21.（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0) 的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A，B两点，AB2 （1）求椭圆E的方程；（2）C是椭圆E上异于A，B的任意一点. (i)当CA、CB斜率都存在时，求证：直线AC，BC 的斜率之积为常数；(ii)D是椭圆E上异于A，B，C的另外一点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求直线MN的倾斜角的度数解：（1）因为e，所以a22b2 1分由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由AB2，所以OA，而点A、B在直线l：yx上，故A(2，1)，B(2，1)又点A在椭圆：1上，得b23从而 a，b故椭圆E的方程为 1 4分（2）(i).当CA、CB斜率都存在时，设C(x0，y0)则kCA kCB又因为，所以，所以故kCA kCB 7分（ii）方法一：当CA、CB、DA、DB斜率都存在时，由（i）kCA kCB同理kDA kDB 因为kCA =kMA，kCB=kNB，kDA= kNA，kDB= kMB于是, 即两式相减得：所以kMN1即直线MN的倾斜角的度数为 11分当CA、CB、DA、DB中有直线的斜率不存在时，由题意，至多有一条直线斜率不存在，不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1, MN的倾斜角为也成立由可知，直线MN的倾斜角的度数为 13分（ii）方法二：当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1、k2，设C(x0，y0)则kCB 同理kDB 于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)所以kMN 1即直线MN的倾斜角的度数为 11分当CA,CB,DA,DB中有直线斜率不存在时,同方法一 13分（ii）方法三：当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)所以kMN 1即直线MN的倾斜角的度数为 11分当CA,CB,DA,DB中有直线斜率不存在时,同方法一 13分22（本小题满分13分）已知函数 （1）若函数在点处的切线方程为，求的值；（2）若函数有三个不同的极值点，求的取值范围； （3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值.解：（1）由于，则，解得；3分（2）令，则方程有三个不同的根，又，知在，上