电动力学-静电场答案

编号： 班级： 学号： 姓名： 成绩： 第1章 静电场 1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度，总等于自由电荷体密度的 （1）倍。 2. 有一内外半径分别为的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内 均匀带静止自由电荷，求 （1）空间各点的电场； （2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解 1） 由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向 故：时 或 时 球壳体内： 在的球形外： 式中 写在一起 2） （与第一题相符） 内表面： 外表面： 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折 满足： 式中和分别为两介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹 角。 证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度，故边值关系为： , （,） 若两种介质都是线性均匀的，即， ； 上边两式为:， 于是得： 4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况 下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。 证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。 1 导体 2 绝缘体 静电情况下：, 由边值关系：, 可得：, 即， 对于各向同性线性介质 所以， 即导体外的电场线垂直于导体表面 5. 如图1，有一厚度为，电荷密度为的均匀带电无限大平板，试用分离 变量法求空间电势的分布。 2a O 图1 解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与x有关，即一维问题。容易写出定解问题： x 时 时 直接求解得 6. 内半径，外半径为的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电 量，试用分离变量法求空间电势分布。 解.根据球对称性，空间电势分布仅与r有关，定结问题为： r=b时 求解得 7. 均匀外电场中，置入半径为的导体球。求以下两种情况的电势分 布。 （1）导体球上接有电池，使球保持电势为；（2）导体球上带有总电 荷。 解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称 性，即电势仅与r有关 1）的定解问题为 此时是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解 为 2）的定解问题为 类似解为 8. 介电常数为的无限均匀介质中，挖一个半径为的空球，球心处置一 电矩为的自由偶极子，试求空间电势分布。 z 解 如图建立球坐标系，的方向为极轴方向, 的定解问题为 r=a时，； 注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，可写为： 第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0 解的电势分布 9半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子，球外充满另一种介质， 求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为，球外为）。 解：求解与上题类似，只需 得， ， 极化电荷分布，在介质球内 因此在球心处有一极化电偶极矩， 在的界面上，由， 可得， 10. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为，点电荷位于这个两面角的 平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为。试用电像法求真空中的电 势。 解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平 分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小： （1）首先考虑半面，为了满足平面的电势为零，应在Q关于对称的位 置B处有一像电荷-Q, A +Q N N C D F E B -Q +Q -Q +Q -Q A （2）考虑半面，同样为了满足电势为零的要求，对于A、B处两个点电 荷+Q和-Q，应在A、B关于对称的位置C、D处有两个-Q、+Q， （3）再考虑半平面，对于C、D处的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电 荷+Q和-Q才能使导体的电势为零。 可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于平面对称，因而可满足平面 的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使 角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可 表为， 其中分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。 在其余空间的电势为。 11. 接地空心导体球，内外半径为和，球内离球心处（）置一点电荷， 试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表 面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量，则电势分布又如何？ 若导体球壳具有确定的电势，电势分布如何？ 解：根据题意设球内区域电势为，球外区域电势为， ， 设像电荷位置如图所示， R R1 R2 a b r B Q r Q 其中 由边界条件 要使上式对任意成立，必有 （*） 解得，（舍去） 代入（*），得 由上可知， 若使有确定，且两种情况有相同解， ， 由边界条件 所以，外表面感应电荷面密度， 内表面感应电荷面密度， 总感应电荷，（可见全部在内表面上） 12. 四个点电荷，两个，两个，分别处于边长为的正方形的四个顶 点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。 解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0)，- q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势 分布为。 -q -q +q +q 13. 求面电荷密度按分布，半径为的球的电矩。问该系统是否存在电四 极矩？ 解： ， 所以， 14. 设真空中电场的势为 式中是离坐标原点的距离，和是常数，求相应的电荷分布。 解：， 时， 时， 15. 在一点电荷的电场中，距离它为的地方有一偶极子，其电矩，求在 下列两种情况下，此电矩