浅谈矩阵的秩及其应用定稿.doc

宝鸡文理学院本科学年论文论文题目： 矩阵秩及其应用 学生姓名： 李 前 学生学号： 201190014020专业名称： 数学与应用数学指导老师： 杨建宏 数学系 2013年11月28日目录【摘要】 1【关键字】1一、矩阵的秩的有关概念1二、矩阵中的相关定理及命题2三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较4四、矩阵运算中矩阵的秩的关系6五、矩阵秩的应用9【参考文献】14浅谈矩阵的秩及其应用 李前 （宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）【摘要】 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。【关键字】 矩阵秩； 线性方程组； 非零子式的最高级数； 初等变换 1、矩阵秩的相关概念，定理及命题为了介绍矩阵的秩，首先介绍级子式的概念定义2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.1 在阶矩阵中任意选定矩阵的行和列,将位于这些所选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个级子式。定义2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。 设所含的非零子式的最高阶数为,则称为矩阵的秩,记为.当时,不含任何非零子式,定义矩阵的秩为0，记为.矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。显然，阶矩阵的非零子式的最高阶数比中的任何一个都小，可记为.若,当时称为行满秩,同样，若，当时称为列满秩；如果,并且当达到最大值时，称为满秩方阵。 例 对于矩阵矩阵的行向量为,计算可得，向量组的秩为3,那么可知，矩阵的行秩为3.矩阵的列向量为,计算可得，向量组的秩为3,那么可知，矩阵的列秩为3.矩阵的行向量,则矩阵矩阵列向量为,经计算向量组,的秩为3,则矩阵的列秩为3.2、矩阵中的相关定理及命题命题1一个矩阵的秩为级子式,而所有的级子式(若矩阵存在级子式)全都为0. 命题2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。矩阵经初等变换后，矩阵的秩不发生改变.定理1 矩阵的行秩和列秩是相等的. 证明1 设所讨论的矩阵为而A的行秩为,列秩为.要证,先证.以代表矩阵的行向量组,不妨设是它的一个极大线形无关组。因为是线性无关的,所以只有零解,这也就是说,齐次线形方程组只有零解.则方程组的系数矩阵的行秩因此在它的行向量中可以找到个是线性无关的,比如向量组线性无关，在这些向量上再添加若干个分量后所得的新的向量组依然是线性无关的。并且它们正好是矩阵的个列向量,由于它们的线性无关性，由此可知矩阵的列秩至少是,也就是说.同理可得.这样就证明了,进而说明矩阵行秩与列秩相等。由此可以看出上例中的行秩和列秩相等绝非偶然情况，而是对任意的矩阵都有行秩等于列秩。因此，我们将矩阵的行秩和列秩通称为矩阵的秩,且三者相等。定理21 阶矩阵的行列式为零的充要条件为.证明1 充分性 因为矩阵的秩等于矩阵的行秩,且,所以矩阵的行秩小于,因此可知矩阵的行向量组是线形相关的,由行列式的性质可得,矩阵的行列式为零。必要性 当时,矩阵为零,结论显然成立。假设结论对成立。讨论的情形,若第一列元素均为零,则.若存在不为零的元素,不妨设利用初等变换将其余各行的第一列元素消成零, 则其中,且为矩阵的行向量。因为矩阵的行列式为零,所以由归纳假设的行向量线性相关。因此，向量组线性相关，进而可得出也是线性相关的，即.由归纳假设可得结论对任意得都成立。由定理2可得出推论,的充要条件是3、矩阵秩的两种计算方法及其优劣比较3.1 矩阵的秩的两种计算方法方法一 求矩阵的非零子式的最高级数由定义知，矩阵的秩为矩阵中存在的非零子式的最高级数。又根据命题1可知若一个矩阵的秩为等价于矩阵中有一个级子式不为,同时所有的级子式全都为0.因此,我们可以得到计算矩阵的秩的一种方法，若存在级子式不为0,而所有的级子式(如果有的话)全部为0,那么矩阵的秩即为.方法二 进行初等变换由上述定理可知，矩阵的秩等于矩阵行秩或列秩,且由命题2可知矩阵经初等变换后矩阵的秩不发生改变,因此，我们可以得到计算矩阵的秩的另一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,所得矩阵中的非零的行数或列数即为矩阵的秩。对于上述所给的例子对于矩阵方法一 因为 所以,又因为该矩阵不存在4级子式,因此得出.方法二 矩阵有3个非零的行向量,因此行秩为3,从而矩阵的秩为3.对于矩阵方法一 因为 所以.对于的3级子式由16种可能,取1,2,4行和1,3，4列计算得 所以.方法二 3.2两种计算机方法的优劣比较对于两种方法,初等变换逻辑性不强,没有层次感,相比之下求级子式，直接明了易于理解。当矩阵阶数时,两种方法相差无几,计算量与难度也相差不大。而当阶数3时,初等变换法明显优于求矩阵的级子式,并且随着阶数的增加两种方法的难度差距也随之增大。对于阶矩阵，若行列式不为零,它的级子式有种可能,级子式有种可能,其他子式的可能情况更多,因而用这种方法的计算量比较大,相对的正确率也比较低,而用初等变换的方法步骤简练,中间过程比较少,相对来说计算量比较小,出错的可能性也比较低。因此, 求级子式的方法有局限性，相对而言初等变换的方法优于求非零子式最高级数的方法。4、矩阵秩的若干性质 (以下讨论的关系中均为可进行运算的矩阵) 性质1 .证明 若能证明,则可证明结论成立。以为例 令表示的列向量,表示的列向量,计算可得,也就是说， 可以由 线性表出,所以.同样,可得,因此得出.性质2 .证明 令为 的列向量为 则的列向量为.因而可以得的列向量组,可以由,线性表出,即 .结论成立。性质3 .证法一因为 所以 .证法二 设,，因此 存在可逆矩阵使得,令,则因此可得 ,而,所以 ,而总行数为，可以得出.即.结论成立。性质4 若,则.证法一 可得，由关系3可得.证法二 表示矩阵的列向量,则,因此有.设, ,则可以由个,即.性质5 若 则.证明 由可得,进而可得,由关系4得 .又因为,可得,且,由关系2得.所以.性质6 若 则.证明 由可得,进而可得由关系4得 .又因为,可得且,.由关系2得,所以 .性质7 . 证明 若方程组的任意非零解，有，那么,则也是方程组的非零解。若方程组，有，在的两边同左乘得,即.由此可得方程组的非零解。可以看出，方程组与方程组同解，则两个方程组基础解系所含向量的个数相同。因为方程组的基础解系所含解的个数等于方程组未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以结论成立，即性质8 若是 使得.证明3 黄光谷 黄东 李杨 蔡晓英 编 高等代数辅导与习题解答M华中科技大学出版社， 2005.3。充分性 ，其中为,所以矩阵为列满秩.必要性 矩阵 ,的前,于是存在阶可逆矩阵使得,其中为令，则有再令,则有于是令,则结论成立。同样的，若是阶可逆矩阵使得.性质9 阶矩阵的秩为,则有的和 ,使得.证明3由于因此存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得则有,其中，由关系8可知，5、矩阵秩的应用5.1矩阵秩在线性方程组中的应用矩阵与线性方程组有密切的关系,在判断线性方程组的解得情况时,矩阵的秩起着十分重要的作用。定理14 陈志杰 编 高等代数与解析几何(上册) M 北京：高等教育出版社，2008.12。 证明 必要性 记系数矩阵为,列向量组为,增广矩阵为,列向量组为.则线性方程组可以写成由此可以看出可以由线性表出,因此,与是等价的,因而有相同的秩,即充分性4 若,说明与有相同的秩,因若为列向量组 可以由线性表出,又因于是，向量组与其极大线性无关组是等价的。所以，可以由线性表出,即是向量组的一个线性组合,例 对于方程组讨论解 系数矩阵 增广矩阵若要方程组有解则需.由此可以看出当时 。当,且时 方程组有唯一解。当时 方程组无解。对于非齐次线性方程组来说，为其系数矩阵，为其增广矩阵，当时，若,则方程组有唯一解，若,则方程组有无穷多组解；当时，方程组无解。矩阵的秩不仅可以用来判断非齐次线性方程组有无解,而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构。以下定理可根据矩阵的秩判断解的情况。定理21 .其中为方程组的系数矩阵,且.例 解 方程组的系数矩阵为，计算系数矩阵的行列式,方程组的系数矩阵为则方程组化简为 （2）由于线性无关，表示方程组的通解。因此，方程组的通解为 其中当时，,方程组只有零解。用来判断给出一般方程的空间两直线的位置关系。 ； ；解的情况，由于每个线性方程都代表一个平面,方程组表示两平面的交线，即所给出的直线所以有.表示系数矩阵与增广矩阵。若当时,。 当时,。若。在此种情况下两直线异面或平行。(三)矩阵的秩再其它方面的应用 为为，则当时，当时，当时，例 已知为阶矩阵且，求.解 由 可知 .当时,，矩阵存在，因此 .当时,矩阵因此 ,3、若，可知，。例5 钱吉林 编著 高等代数题解精粹北M京：中央民族大学出版社，2002.10。 6