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文档简介
试卷一: 得 分 一、单项选择题(3分5=15分)1、1、下列各式正确的是( )(A); (B); (C); (D);2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )(A) c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A)若, 则 (B) 是可测函数 (C)是可测函数;(D)若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数(C)在上L可积 (D) 得 分二. 填空题(3分5=15分)1、_2、设是上有理点全体,则=_,=_,=_.3、设是中点集,如果对任一点集都有_,则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. (填“充分”,“必要”,“充要”)5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使_,则称为 上的有界变差函数。得 分三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分4=20分)1、设,若E是稠密集,则是无处稠密集。2、若,则一定是可数集.3、若是可测函数,则必是可测函数。 4设在可测集上可积分,若,则得 分四、解答题(8分2=16分).1、(8分)设 ,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、(8分)求得 分五、证明题(6分4+10=34分).1、(6分)证明上的全体无理数作成的集其势为.2、(6分)设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、(6分)在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 4、(6分)设在上可积,则.得 分阅卷人复查人5、(10分)设是上有限的函数,若对任意,存在闭子集,使在上连续,且,证明:是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)试卷一 答案:试卷一 (参考答案及评分标准)一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、; ; 3、4、充要 5、成一有界数集。三、1错误2分例如:设是上有理点全体,则和都在中稠密 .5分2错误2分例如:设是集,则,但c , 故其为不可数集 .5分3错误2分例如:设是上的不可测集,则是上的可测函数,但不是上的可测函数.5分4错误2分5分四、1在上不是可积的,因为仅在处连续,即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数,在上是可积的6分因为与相等,进一步,8分2解:设,则易知当时, .2分又因,(),所以当时,4分从而使得6分但是不等式右边的函数,在上是可积的,故有8分五、1设 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 对,使对任意互不相交的有限个当时,有2分将等分,使,对,有,所以在上是有界变差函数.5分所以从而,因此,是上的有界变差函数.6分4、在上可积2分据积分的绝对连续性,有.4分对上述,从而,即6分5存在闭集在连续2分令,则在连续4分又对任意,.6分故在连续.8分又所以是上的可测函数,从而是上的可测函数.10分试卷二:实变函数试卷二专业_班级_姓名 学号题号一二三四五总分得分 注 意 事 项1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目,字迹要清楚、工整。得 分一.单项选择题(3分5=15分)1设是两集合,则 =( ) (A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 的任一领域内都有中无穷多个点,则是的聚点 (B) 的任一领域内至少有一个中异于的点,则是的聚点 (C) 存在中点列,使,则是的聚点 (D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。(A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对;4. 下列断言中( )是错误的。(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集;(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 5. 若,则下列断言( )是正确的(A) 在可积在可积; (B) (C) ;(D) 得 分二. 填空题(3分5=15分)得 分阅卷人复查人1、设,则_。2、设为Cantor集,则 ,_,=_。3、设是一列可测集,则4、鲁津定理:_5、设为上的有限函数,如果_则称为上的绝对连续函数。得 分三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分4=20分)1、由于,故不存在使之间对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。得 分四.解答题(8分2=16分)1、设 ,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。2、求极限 .得 分五.证明题(6分3+ =34分)1.(6分) 1、设f(x)是上的实值连续函数,则对任意常数 c, 是一开集.2.(6分) 设使,则E是可测集。 3. (6分)在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4.(8分)设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:收敛于。得 分阅卷人复查人5.(8分)设在上可积,则对任何,必存在上的连续函数,使.试卷二(参考答案及评分标准)一、1,C 2, C 3, B 4, C 5, A二、1, 2,c ;0 ; 3, 4,设是上有限的可测函数,则对任意,存在闭子集,使得在上是连续函数,且。5,对任意,使对中互不相交的任意有限个开区间只要,就有三、1错误2分记中有理数全体显然。5分2正确2分设为零测度集, ,所以,因此,是零测度集。5分3错误2分例如:取作函数列:显然当。但当时,且这说明不测度收敛到1.5分4错误2分例如:显然是的连续函数。如果对取分划,则容易证明,从而得到5分四、1在上不是可积的,因为仅在处连续,即不连续点为正测度集3分因为是有界可测函数,所以在上是可积的. .6分因为与相等, 进一步,8分2设,则易知当时,2分又4分但是不等式右边的函数,在上是可积的6分故有8分五、1.1分在点连续,对当时,有3分 ,5分因此,从而为开集.6分2对任何正整数,由条件存在开集使1分令,则是可测集3分又因对一切正整数成立,因而,即是一零测度集,所以也可测.5分由知,可测。6分3、易知是上的增函数2分令, 则对于有所以是上的增函数4分因此,其中与均为上的有限增函数. .6分4、因为在上“基本上
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