高中数学必修二：两条直线的位置关系

高中数学必修二第二节:两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)两平行直线2xy10,4x2y10间的距离是0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2若直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为()A3BC2 D3解析：选D直线ax2y10的斜率k1，直线2x3y10的斜率k2，因为两直线垂直，所以1，即a3.3(教材习题改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a的值为()A.B2C.1 D.1解析：选C由题意知1，|a1|，又a0，a1.4若直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_解析：由得即直线2xy10与yx1相交于点(9，8)又因为直线2xy10，yx1，yax2交于一点，所以89a2，解得a.答案：5已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_解析：，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.答案：2考什么怎么考两条不同直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式命题，难度较易，属于基础题.1已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10B2C0 D8解析：选Al1l2，2(m2)，解得m8(经检验，l1与l2不重合)，l2l3，211n0，解得n2，mn10.2已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_解析：l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.答案：1或03已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解：(1)由题意得解得即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)(2)l1l2， 解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2.(3)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.怎样快解准解1解题要“前思后想”解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”2方法要“因题而定”(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.(2)由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)注意在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离，多以选择题或填空题的形式考查，难度偏小，属于基础题.典题领悟1若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C. D.解析：选C因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.2已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_解析：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立解得或所求点P的坐标为(1，4)或.答案：(1，4)或解题师说距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题冲关演练1若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A. B1C. D2解析：选C因为点P是曲线yx2ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小因为直线yx2的斜率等于1，曲线yx2ln x的导数y2x，令y1，可得x1或x(舍去)，所以在曲线yx2ln x上与直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线yx2的最小距离为，故选C.2若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A3 B2C3 D4解析：选A依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：xy70和l2：xy50距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即l：xy60.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为3.对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题，中心对称就是点(线)关于点的对称，轴对称就是点(线)关于线的对称，此类问题多以选择题或填空题的形式考查，难度适中常见的命题角度有：(1)点关于点的对称；(2)点关于线的对称；(3)线关于点的对称； (4)线关于线的对称题点全练角度(一)点关于点的对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.答案：x4y40题型技法若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解角度(二)点关于线的对称2.在等腰直角三角形ABC中，|AB|AC|4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP的长度为()A2B1C. D.解析：选D以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为xy40，设P(t,0)(0t4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y(xt)，设ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有，即3t24t0.所以t0或t，因为0t0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析：设点(m，n)关于直线xy10的对称点为(a，b)，则解得则(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n，1m)，则1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522)，当且仅当m，n时等号成立答案：7以点A(4,1)，B(1,5)，C(3,2)，D(0，2)为顶点的四边形ABCD的面积为_解析：因为kAB，kDC.kAD，kBC.则kABkDC，kADkBC，所以四边形ABCD为平行四边形又kADkAB1，即ADAB，故四边形ABCD为矩形故S|AB|AD|25.答案：258.如图，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_解析：从特殊位置考虑如图所示，点A(2,0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2,4)，kA1F4.又点E(1,0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2,1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，kFDkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)9正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.10已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，因为kOP，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线B级拔高题目稳做准做1已知P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D因为P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，设Ax0By0Ck，k0.若方程AxByC(Ax0By0C)0，则AxByCk0.因为直线AxByCk0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线AxByCk0和直线l平行因为Ax0By0Ck，而k0，所以Ax0By0Ck0，所以直线AxByCk0不过点P.2设a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0的位置关系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：选C由题意可得直线sin Axayc0的斜率k1，bxsin Bysin C0的斜率k2，故k1k21，则直线sin Axayc0与直线bxsin Bysin C0垂直，故选C.3设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.， B.，C.， D.，解析：选A由题意a，b是方程x2xc0的两个实根，所以abc，ab1.又直线xya0与xyb0的距离d，所以d222c，而0c，所以22c20，得2c，所以d，故选A.4(2018豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为_解析：当直线过原点时，设直线方程为ykx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得，解得k7或k1，此时直线l的方程为y7x或yx；当直线不过原点时，设直线方程为xya，由点A(1,3)到直线l的距离为，得，解得a2或a6，此时直线l的方程为xy20或xy60.综上所述，直线l的方程为y7x或yx或xy20或xy60.答案