2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷(理科)(解析版) (1).doc

2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，M=x|y=ln（1x），N=x|2x（x2）1，则（UM）N=（）Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|0x12若，是第三象限的角，则=（）ABCD3复数=（）A0B2C2iD2i4已知xR，命题“若x20，则x0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D35由直线x=0，y=0与y=cos2x（x0，）所围成的封闭图形的面积是（）AB1CD6某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）AB9+3C18D12+37设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（1，2为实数），则1+2的值为（）A1B2CD8已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D329已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）f（2t），则实数t的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）10已知双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）ABCD11函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD12在平行四边形ABCD中， =0，沿BD将四边形折起成直二面角ABDC，且2|2+|2=4，则三棱锥ABCD的外接球的半径为（）A1BCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13根据如图所示的程序语句，若输入的值为3，则输出的y值为_14观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a11+b11=_15九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），则该问题中圆周率的取值为_16ABC中，点D是边BC上的一点，B=DAC=，BD=2，AD=2，则CD的长为_三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和Sn满足Sn=（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bn=an3an（nN+），求数列bn的前n项和Tn18调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员ABCDE工作年限x（万元）23578年推销金额y（万元）33.546.58（）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（）利用（）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额附： =， =19长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P为A1B1中点，M，N，Q分别为棱AB，AA1，CC1上的点，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ（）求证：PQ平面PD1N；（）求二面角PD1MN的余弦值20平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点F是椭圆C1的右焦点（）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若=2，求直线l的方程21已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x1）（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）g（x）对任意的x1，+）恒成立，求实数a的取值范围；（）求证：ln2ln3lnn（n2，nN+）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，ABD=CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E（）证明：AC=CE；（）若DF=2，BF=4，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知a，b为实数（）若a0，b0，求证：（a+b+）（a2+）9；（）若|a|1，|b|1，求证：|1ab|ab|2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，M=x|y=ln（1x），N=x|2x（x2）1，则（UM）N=（）Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|0x1【考点】指数函数单调性的应用；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法【分析】先化简集合A、B，再求出CUM，从而可求交集【解答】解：M=x|y=ln（1x）=（，1），N=x|2x（x2）1=（0，2），全集U=R，CUM=1，+）（CUM）N=1，+）（0，2）=1，2）故选B2若，是第三象限的角，则=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系【分析】根据的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案【解答】解：是第三象限的角sin=，所以sin（+）=sincos+cossin=故选A3复数=（）A0B2C2iD2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】直接通分，然后化简为a+bi（a、bR）的形式即可【解答】解：=i+i=2i故选D4已知xR，命题“若x20，则x0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】四种命题间的逆否关系【分析】根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假【解答】解：命题“若x20，则x0”的逆命题是“若x0，则x20”，是真命题；否命题是“若x20，则x0”，是真命题；逆否命题是“若x0，则x20”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2故选：C5由直线x=0，y=0与y=cos2x（x0，）所围成的封闭图形的面积是（）AB1CD【考点】定积分【分析】先确定积分区间，再利用定积分表示面积，即可求出结论【解答】解：由直线x=0，y=0与y=cos2x（x0，）所围成的封闭图形的面积S=cos2xdx=sin2x|=，故选：D6某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）AB9+3C18D12+3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱，由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，则梯形的腰是=，侧棱与底面垂直，侧棱长是3，该几何体的表面积S=+=12+3，故选：D7设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（1，2为实数），则1+2的值为（）A1B2CD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出1与2的值即可【解答】解：由题意，如图，因为AD=AB，BE=BC，又（1，2为实数），1+2=故选C8已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D32【考点】等差数列的性质；等比数列的性质【分析】先根据等差中项的性质可知得2（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数q0，q=1+=3+2故选C9已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）f（2t），则实数t的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用f（x）的奇偶性及在x0上的单调性，由f（x）的性质可把f（t）f（2t），转化为具体不等式，解出即可【解答】解：当x0时，f（x）=log3（x+1），函数在x0上为增函数，函数y=f（x）在R上为偶函数，f（t）f（2t），|t|2t|，t1，实数t的取值范围是（1，+）故选：B10已知双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率【解答】解：双曲线mx2ny2=1化为标准方程为：双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C11函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可【解答】解：是偶函数，排除A，当x=2时，排除C，当时，排除B、C，故选D12在平行四边形ABCD中， =0，沿BD将四边形折起成直二面角ABDC，且2|2+|2=4，则三棱锥ABCD的外接球的半径为（）A1BCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知中=0，可得ABBD，沿BD折起后，由平面ABD平面BDC，可得三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，进而根据2|2+|2=4，求出三棱锥ABCD的外接球的半径【解答】解：平行四边形ABCD中，=0，ABBD，沿BD折成直二面角ABDC，平面ABD平面BDC三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4外接球的半径为1，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13根据如图所示的程序语句，若输入的值为3，则输出的y值为2【考点】伪代码【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由x=3，满足条件1x4，从而计算可得y的值【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由于：x=3，满足条件1x4，可得：y=31=2故答案为：214观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a11+b11=199【考点】归纳推理【分析】观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到第11个数的数值【解答】解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第11项对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，第11项为199，故答案为：19915九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），则该问题中圆周率的取值为3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率的取值【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），V=，=3，R=，故答案为：316ABC中，点D是边BC上的一点，B=DAC=，BD=2，AD=2，则CD的长为7【考点】三角形中的几何计算【分析】设AB=x，在ABD中由条件和余弦定理求出AB和cosBDA，由ADB+ADC=和诱导公式求出cosCDA，由平方关系求出sinADC，根据内角和定理、DAC=和两角和的正弦公式求出sinC，在ADC中由正弦定理求出CD的长【解答】解：如图所示：设AB=x， 在ABD中，B=，BD=2，AD=2，则由余弦定理得，AD2=AB2+BD22ABBDcosB28=，则x22x24=0，解得x=6或x=4（舍去），cosBDA=ADB+ADC=，cosCDA=cosBDA=，则sinADC=，DAC=，sinC=sin（DAC+ADC）=sinDACcosADC+cosDACsinADC=在ADC中，由正弦定理得，CD=7，故答案为：7三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和Sn满足Sn=（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bn=an3an（nN+），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（）当n=1时，a1=S1=1，当n2时，an=SnSn1，即可得出数列an的通项公式；（）把（）中求出的数列an的通项公式代入bn=an3an，求出数列bn的通项公式，再利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）当n2时，Sn1=，an=SnSn1=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式综上，an=n（）bn=an3a=n3n（nN+），则数列bn的前n项和Tn，Tn=13+232+333+n3n，3Tn=132+233+334+n3n+1，2Tn=3+32+33+3nn3n+1，2Tn=n3n+1，Tn=+（）3n+1，数列bn的前n项和Tn，Tn=+（）3n+118调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员ABCDE工作年限x（万元）23578年推销金额y（万元）33.546.58（）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（）利用（）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额附： =， =【考点】线性回归方程【分析】（）根据表中数据，画出散点图，利用散点图估计月推销金额y与工作时间x有线性相关关系；（）利用公式求出线性回归方程即可；（）根据线性回归方程计算x=10时y的值，即可得到预报值【解答】解：（）年推销金额y关于工作年限x的散点图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大（）=5， =5，b=，a=5=，年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程为y=x+（）当x=10时，y=10+=，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额为万元19长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P为A1B1中点，M，N，Q分别为棱AB，AA1，CC1上的点，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ（）求证：PQ平面PD1N；（）求二面角PD1MN的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PQ平面PD1N（）求出平面PD1M的法向量和平面D1MN的法向量，利用向量法能求出二面角PD1MN的余弦值【解答】证明：（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，如图建立空间直角坐标系，则P（2，2，3），Q（0，4，1），D1（0，0，3），M（2，3，0），N（2，0，1），=（2，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=0， =0，PQD1P，PQD1N，D1PD1N=D1，PQ平面PD1N解：（） =（2，3，3），=（2，2，0），=（2，0，2），设平面PD1M的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得平面PD1M的一个法向量为=（3，3，1），设平面D1MN的法向量为=（a，b，c），则，取a=3，得=（3，1，3），cos=，由图知二面角PD1MN的平面角为钝角，二面角PD1MN的余弦值为20平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点F是椭圆C1的右焦点（）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若=2，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【分析】（）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出椭圆C1的方程利用=c，解得p，即可得出抛物线C2的方程（）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）直线方程与抛物线方程联立可得：y2my4=0，利用斜率计算公式可得kOA，进而定点直线OA的方程，与椭圆方程联立可得=2，进而得到，利用向量数量积运算性质可得：，利用=2，及其根与系数的关系解出m，即可得出【解答】解：（）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1椭圆C1的方程为： =1又F（1，0），=1，解得p=2抛物线C2的方程为y2=4x（）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）联立，化为：y2my4=0，y1+y2=4m，y1y2=4=16m2+160，kOA=，直线OA的方程为：x=y，得=2， =，同理=，=+y1y2=3，=x3x4+y3y4=+y3y4=y3y4，=2，y3y4=，=，m2=，m=，直线l的方程为：x=y+121已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x1）（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）g（x）对任意的x1，+）恒成立，求实数a的取值范围；（）求证：ln2ln3lnn（n2，nN+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；（）得到lnx，令x=n（n2，nN*），得lnn，x取不同的值，相乘即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnx+1，设g（x）=f（x），g（x）=，令g（x）0，得x1，g（x）0，得0x1，g（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，g（x）min=g（1）=2，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）的递增区间为（0，+），无递减区间（）设h（x）=（x1）lnxax+a，由（）知：h（x）=lnx+=1a=g（x）a，g（x）在（1，+）递增，g（x）g（1）=2，（1）当a2时，h（x）0，h（x）在1，+）递增，h（x）h（1）=0，满足题意（2）当a2时，设（x）=h（x），（x）=，当x1时，（x）0，（x）在1，+）递增，（1）=2a0，（ea）=1+ea0，x0（1，ea），使（x0）=0，（x）在1，+）递增，x（1，x0），（x）0，即h（x）0，当x（1，x0时，h（x）h（1）=0，不满足题意综上，a的取值范围为（，2（）由（）知，令a=2，（x+1）lnx2（x1），x1，lnx（当且仅当x=1取“=”），令x=n（n2，nN*）得lnn，即ln2，ln3，ln4，ln（n2），ln（n1），lnn，将上述n1个式子相乘得：ln2ln3lnn=，原命题得证请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，ABD=CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E（）证明：AC=CE；（）若DF=2，BF=4，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）利用等腰三角形的性质，证明CAE=E，即可证明：AC=CE；（）证明ADFBDA，即可求AD的长【解答】证明：（）AB=AC，ABC=ACB，AB