毕业论文稿用辅助圆解题方法的研究.doc

用辅助圆解题方法的研究 内容摘要 辅助圆是一种重要的解题工具，巧妙地添加辅助圆这工具能使一些用常规方法解决的问题转化为关于圆的模型，利用圆的定义以及性质从而能更快捷的解决问题。所以，本文对何时可以应用到辅助圆这工具进行了总结，通过具体例题进一步的给出了应用辅助圆在各种问题中的的不同方法，使问题由难变易，迎刃而解。这种方法不仅能较好的达到解题目的，还有利于培养学生分析问题和思维能力。 【关键词】辅助圆 圆的性质 最值 取值范围 math problem-solving approach with auxiliary circle SummaryAuxiliary circle is an important problem-solving tool, cleverly add the the auxiliary circle tool enables using conventional methods to solve the problems transformed into the circle model, using the definition of a circle, and the nature of which solve the problem faster. So, when this paper can be applied to the auxiliary circle tool was summarized by the specific examples given application auxiliary circle in a variety of problems in different ways, difficult to change, solved the problem. This approach is not only able to better achieve problem-solving purposes, will also help students analyze problems and thinking ability.【Keyword】Auxiliary circle The nature of the circle The most value Range目 录一、引言 （1）二、用辅助圆解题方法的研究（2）（一）在代数中的研究（3）（二）在平面几何中的研究（5）（三）在解析几何中的研究（6）（四）在物理学中的研究（9）三、总结（11）致谢 （11）参考文献（11）中学数学用辅助圆解题方法的研究 学生姓名：陈超文 指导老师：寇艳蕾1、 引言 圆就是到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何的主要研究对象之一，可又可以巧妙的应用在代数，解析几何和物理等问题中，使一些看似无法下手的数学问题迎刃而解；同时，通过“以形解数”、“以形解形”，加深对数形结合的数学思想方法的认识，也为中学数学教师的解题教学和学生解题提供另一种思路与方法，拓宽解题的思维与视角.本文在借鉴前人的研究辅助圆的应用的基础上进一步研究和归纳出什么类型的题目可以用到辅助圆，如在代数的研究中形如的代数式，且是求最值或取值范围时，在复数问题关于绝对值的取值范围题目中，和在平面几何中当发现有某四边形中有对角互补等情况时都可联想到辅助圆这解题工具。本文还重点研究在有关椭圆与直线的问题中化为单位圆，构造一个单位圆，利用单位圆的特殊性质巧妙地解决椭圆问题。 二、中学数学用辅助圆解题方法的研究 形如的代数式，且是求最值或取值范围时，普遍可以令其值为，引入辅助圆=，使得两点间的距离与半径建立出一一对应关系, 合理应用圆的几何性质, 便能达到巧妙答题的目的。 而由于复数容易在坐标系中表示，所以我们也可以利用在坐标系中建立辅助圆，用直观的图来巧妙地解题。比如在复数问题中求取值范围且有如绝对值之类可以有圆相联系的问题中，我们也可以利用式子的几何意义，通过构造辅助圆，在头脑中形成圆的形象，跟问题联系起来，从而达到以形解数目的。而在三角函数问题中有时给出已知三角函数的值，而返回来求角的值.解答此类问题，可借助辅助圆，而且因为结合三角函数的图像容易知道该辅助圆就是单位圆，利用直线和单位圆的位置关系便可获解6.借助单位圆，将纯三角计算问题转化为直线与圆的位置关系来解决，直观、明了，给人耳目一新之感.除此之外辅助圆还会用在三角函数和某具体实数的比较，这种情形只要结合辅助圆和该三角函数连线的交接的三角形和扇形的比较即可。1.在代数中的探讨 例1.已知实数a、b满足，求的最大值和最小值。分析：此题问题满足利用辅助圆形如的代数式，且是求最值或取值范围时这个基本条件，所以我们可以考虑引入辅助圆，而是经过原点的椭圆，所以显然的最小值为0。而当且仅当椭圆和该圆相切时，椭圆上的点到原点的距离有最大值，再用与联立方程消去未知数b得，从而要得=。故最大值是，最小值是0。例2.设且方程至少有一个实数根,试求的最小值.分析:由题要求的最小值我们可以联想到圆的方程的标准形式,则可以利用辅助圆来求解.解:作辅助圆 ,设为方程的一个实根,故有,同时满足，.故关于,的方程组 有解,即是直线与圆有交点，.设，所以只须求的最小值. =， ，当且仅当，即时，等号成立.代入方程或，解之即可得，此时，的最小值为.例3.求实数的范围，使得对任意的实数和任意的，则恒有.解：由结论的形式联想到圆的方程的标准形式，设，则有表示以为原点，以为半径的圆的外部（包括边界），消去得动直线的方程，所以只须动直线与圆恒相切或相离，既有恒成立，所以只要恒成立即可.令，由，有，则化为，恒成立，即，或，恒成立，即或，恒成立，利用函数的单调性可求得，或.2.在求复数问题的最值问题时。例4.设复数z，且z的绝对值是1，求的最小值解：做一辅助圆如图，题目所求即是在辅助圆中找一点使它到M（0,-5）和点N（0，1）距离最小值。当所找的点在MN的连线上.则|MN|就是所求的最小值.所以的最小值是 N M例5 已知复数z,且,求的取值范围。 分析 利用复数在复平面上所对应的坐标及其几何意义解决此类问题.解 在复平面上对应的图形为以（3,0）为圆心,以2为半径的圆周及圆内部；表示满足在复平面圆内上z对应的点与-4对应的点间的距离，画图出来易知的最大值为7，的最小值为3，故的取值范围是（3,7）。 3 .在求三角函数时。 例6 已知，求B的值.分析 本题若用公式把其展开，则显得冗繁，不妨考虑用几何方法.解 将已知条件化为.点在直线以及单位圆上，有 ，则 ，又因为 ，所以 ，故 ，即 . 例7（1996年第12届全俄数学竞赛题）求证：. 证明 作一单位圆（如图11），有 AOB =， =.因为 AOB，所以 ， 即 . 本题乍一看，似乎难以下手，可借助单位圆，使问题解决更快捷.（二）在平面几何中的研究在应用辅助圆前，首先我们要清楚哪些条件是可以让我们联想到辅助圆的，比如有公共端点的等线段时、有两角互余或互补的时、有高、有相交弦的逆定理、有割线的逆定理，两数相乘等积等形式出现时都可以考虑用到辅助圆，以下就列举了这几种普遍的情形，而且进一步重点研究四点共圆的情况。1. 当有公共端点的等线段时可联想到辅助圆。 例1。如图，若PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，DB=3，则ADDC等于( ) A6 B7 C12 D16 到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法，也是最常见的可以用到辅助圆的例子。此题看到有公共端点的p和等线段的PA和PB，可以联想到作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件。2.当有两角互余或互补的时或者有45度角和90度角时可联想到辅助圆。EABGDCF例2如图，在中,是底边上一点,是线段上一点且.求证：. 证明：延长与的外接圆相交于点,连结与. 则,即. 故. 又,从而.故.作的平分线交于,则.因,故.从而.于是,.故.3.当有两数相乘等积时即是可以联想到相交弦定理从而引入辅助圆。例3.已知.如图，中，,的平分线与分别交于.求证.分析:由结论的符号特征联想到圆中的割线定理，而由条件可证，因此想到以点为圆心,为半径作圆交于,交的延长线于, 则点在圆上.所以，=，所以，.点评：上述解法，通过添加辅助圆，使之形成两条共端点的割线，这为获得妙解找到了捷径. 4.针对高考题中主要考察有辅助圆的问题普遍是四点共圆的问题，故本文在这里重点研究了四点共圆的情形。定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为 “四点共圆。 在联想和应用到辅助圆的前提必须要清楚这四点共不共圆，而在这里本文总结了可以证明四点共圆的基本方法：a.定义法，三点在同一圆上，若另外一点也在该圆上，则其四点必共圆；b.若两个同侧有相等顶角的三角形，则该两个三角形各顶点四点共圆；c.若四边形的有一对角互补时可知改四点共圆；d.根据相交弦的逆定理、割线的逆定理证明。四点共圆的基本几何性质有a.共圆的四点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等；b.共圆的四边形对角互补；c.圆内接三角形的某角的外角跟该角的对角相等。在熟练理解和应用四点共圆的证明方法和性质前提下，我们可以归纳出一些普遍能应用四点共圆的辅助圆的情况。例4.如图，已知四边形ABCD,AB平行CD，其中AB,AC,AD三线其值都为x，BC为y，问BD的长。分析：由AB,AC,AD三线相等并共端点，而且该四边形的对角互补，种种条件我们很容易的联想到引入辅助圆来求解。解:以A为圆心，半径为AB做圆，则A,B,C,D四点共圆，则由圆的基本性质可知,所以例5.如图，在三角形ABC中，,，求证BC=2ED. 分析：由若两个同侧有相等顶角的三角形，则该两个三角形各顶点四点共圆 这证明四点共圆的方法可知E、B、C、D四点共圆故我们可联想到引入 辅助圆来解决问题。证明： 在ABC中，BEC=BDC=90，且E、D在BC的同侧，E、B、C、D四点共圆AED=ACB，A=A，AEDACB 即BC=2ED例6，如图，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135，G为ABC内的一点，且GB=GC，BGC3A，连结HG，求证：HG平分BHF解：由四边形性质容易知道，所以BGC=3A=135,而由同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆可知B、G、C、H四点共圆，得BCG=GHB=22.5，又BHF=45，所以GHB=BHF，故HG平分BHF。例7.已知等腰梯形中，,，求证：.（1）分析：看到有四边形对角互补和几个线段都相等的情形下，我们还是很容易想到辅助圆。证明:如图6，以为圆心,长为半径作圆,交直线,延长交于,连结,则，, 又，,又,四边形为平行四边形，.,=.到此在中学普遍能利用到四点共圆的情形或类似题目在上文基本阐述，关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和 即，若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。很多问题换个思路，就会柳暗花明。在解证某些数学题时，如能巧用托勒密定理，可使解证过程简洁清新。如下面这道例题：设a，b，x，y是实数，且，求证：axby1这道题如果用代数不等式的知识去解过程会很复杂，我们可以从条件得到灵感，构造一个直径AB=1的圆，在AB的两侧任作RtACB和RtADB，使AC=a，BC=b，BD=x， AD=y(图1) 这时我们就可以运用托勒密定理了。根据托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD CD1，axby1上题运用代数运算转换成图形的思想，从而让托勒密定理得以巧妙运用。而在图形转化成代数的运算中，托勒密定理也能发生作用。我们看看这道奥数题：已知正七边形A1A2A7， 对于这道竞赛题，原证较繁，但通过深挖隐含条件，我们可以知道，正七边形存在外接圆。从而我们可以利用托勒密定理，改变整个解题局面，使证题步骤简缩到最少(图2)如图2，连 A1A5、A3A5，则A1A5=A1A4、A3A5=A1A3在四边形A1A3A4A5中，由托勒密定理，得A3A4A1A5A4A5A1A3A1A4A3A5，即A1A2A1A4A1A2A1A3A1A3A1A4，两边同除以A1A2A1A3A1A4即得结论式由上面两道题目可以看出托勒密定理在数与形的转换中起到“桥梁”的作用，对于它的其它妙用，这里就不再一一罗列了。 四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务（三）在解析几何中的研究在解析几何中能用到辅助圆的普遍是研究与椭圆有关的问题，这时通过一个特殊的线性变换，可以把椭圆方程转化为辅助圆方程（这时我们一般为方便起见是转化为单位圆）.对于椭圆方程，若作变换 ，则椭圆方程变化为单位圆方程的等命题.从而可以把某些椭圆问题转化到单位圆中来解决，即通过化椭圆问题为单位圆问题，构造一个单位圆，利用圆的特殊性质解决椭圆问题，往往能使问题简化. 如一些有关椭圆与直线的问题中，已知含某一待定实数的方程的直线与椭圆存在某种关系时，要求解满足这种关系的实数的取值范围.这种问题我们可转化为直线与单位圆问题，利用熟悉的单位圆的有关性质，更便于解决.又如求解与椭圆相交的直线的方程时，可转化为求与单位圆相交的此直线的方程问题，利用辅助圆和直线的关系最后在进行逆代换，返回到原问题中.而一般出现在数学高考题后三道题中求轨迹方程的题目中，利用单位圆做辅助圆也是用相同的思路方法把先把椭圆化为单位圆再进一步求解。1.求实数范围例1. 如果椭圆上存在关于直线对称的两点，试求的范围.分析 利用变换 ，则原命题转换为构造一个等价命题. 如果单位圆上存在两点，使线段的中点在直线上，且满足，试求的范围.根据垂径分弦及圆的中点在圆内的特殊性确定的取值范围.解 把分别代入方程和得到 ，单位圆，直线.椭圆上关于直线对称的两点，分别对应单位圆上两点 ， 因为 .则椭圆的弦的中点对应单位圆的弦的中点.又因为 ，所以 , .而，所以直线的方程为.联立方程组 解得 点在圆内，则 .解得的取值范围为 . 2.求直线方程 例2. 是椭圆内一点，过作直线交椭圆于两点，当为线段的中点时，求直线方程.解 作变换，则椭圆方程变为：，变为，椭圆中心与相应地变为与，此时为的中点.根据圆的性质：线段为垂直的弦.因为 ，所以 .又所求直线经过，据点斜式得所在的直线方程为.作逆代换得 .即 .这就是为中点时的直线方程.3.求轨迹方程 例3. 椭圆上一动点的切线分别交轴、轴于点，过，分别作垂直于轴、轴的直线，求此二垂线交点的轨迹方程.解 作变换，则椭圆变换为单位圆.与点对应的落在圆上，设其坐标为，则有，并且知过的圆的切线为.此切线与轴的交点的横坐标是，与轴交点的纵坐标是.设，则从而 又 ，所以 .作逆变换即得点的轨迹方程为 （四）在物理学中的探讨数学方法是研究物理学的一种基本方法，运用圆的知识研究物理问题也是一种常用的数学方法之一，若能根据题目特点引入辅助圆，往往对解题起到化繁为简，化难为易的作用。而以下两种题目的特点是可以引入辅助圆的。11 矢量圆求最值时。ADvuv1图1L矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆 ”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。 例1 一条宽为L的河流，水流速为u，船在静水中划行的速度为v ，且vu。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？解析 水流速u、船在静水中的速度v与船的合速度v1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角。2 可以用等势圆表示已知两点机械能相同时。点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化难为易。例2 （2002年江苏等省理综第30题）如图6所示，直角三角形的斜边倾角为30，底边BC长为2L，ABCO。D图6ABCQD图7处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v。则：该质点运动到非常挨近斜边底端C点时速度vc为多少？没斜面向下的加速度ac为多少？解析 点电荷沿斜面AC下滑时，电场力在不断变化，无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解，从而使解题陷入困境。图8N由几何关系可引入图7所示的等势圆，由于D、C二点位于同一等势圆上，电荷从D运动到C电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在D点的机械能与C点的机械能相等，即：对电荷在C点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得：，解得：。三、总结数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，二者不仅渗透于数学教学中，还是进行解题时必需的也很重要的两大工具，并要注意把两者结合起来，达到“数形结合”解题的目的.而实际上，解一些三角、复数问题时大多数学生往往习惯于用代数方法求解，忽视了几何方法，而单位圆正是解决这些问题，实现“以形解数”“以形解形”的有力工具之一.利用单位圆来解决一些高中数学问题，不仅为解题提供了另一种思路与方法，拓宽了解题的视角，同时使“数”与“形”能更好的统一起来，加深了对数形结合的数学思想方法的认识和理解.致谢：本次毕业论文能够顺利完成，这与我的指导老师寇艳蕾老师的细心指导是分不开的。从课题的选择到论文的最终完成，寇老师对学术严谨的态度和精益求精的精神，使我受益匪浅。不仅使我掌握了基本的学术论文写作及研究方法，还让我学会了许多做人的道理。老师为我们花费了大量的心血，感谢他们耐心的帮助我修改论文，尽一切方便为我提供资料；感谢大学四年来所有的老师，为我们打下了数学专业知识的基础；感谢长达半个学期中各位同学对我的无私帮助。衷心的谢谢大家！ 参考文献：1.尹光明.化椭圆为圆的解题技巧J.数学通讯，1998，（7）：1718.2.刘恒章,构造辅助圆解非圆问题,中学数学杂志J,1997,56（6）,65.3.杨怀宏，辅助圆的应用，数学学习J，2009，37（24）,30-31.4.张拥军,例说辅助圆的应用，中学数学月刊J，2001，23（3），38.5.章礼抗困境中构圆解围J.数学通讯，2005，(15) ：17196.仲济斋圆在解题中的应用J.数学通讯，2002，(5) ：25261.赵光朋.从圆的定义想到辅助圆.百度文库.6李子忠.巧用直线与圆的位置关系解题J. 高中数学教与学，2007，（2）：46袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁