13.4--课题学习--最短路径问题.doc

人教版义务教育教科书数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题教学目标1了解将军饮马及造桥选址两个常见类型2会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题3能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目教学重点难点1将实际问题抽象为数学问题2解答最短路径问题课时安排2课时教案A、B第1课时教学内容将军饮马教学过程一、导入新课问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？二、探究新知1将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识（1）把A、B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小2尝试解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于l 的对称点 B，利用轴对称的性质，可以得到 CBCB（下右图）连接AB，则AB与l 的交点即为所求3证明“最短”师生共同分析，合作证明“ACBC”最短证明：如上右图，在直线l上的任一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC，由轴对称的性质知：BCBC，BCBC ACBCACBCAB，ACBCACBC在ABC中，ABACBC， ACBCACBC即ACBC最短提问：证明ACBC最短时，为什么要在直线l上任取一点C（与点C不重合），证明ACBCACBC？这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识三、巩固练习已知P是ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使PQR的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导四、课堂小结总结用数学解决实际问题的步骤第2课时教学内容造桥选址教学过程一、导入新课造桥选址问题：如下图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 二、探究新知1将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AMMNNB最小？2尝试解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AMNB最小时，AMMNNB最小这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AMNB最小？（2）如下左图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AMNBANNB这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，ANNB最小？（3）如上右图，在连接A，B两点的线中，线段AB最短因此，线段AB与直线b的交点N的位置即为所求3证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线 b上另外任意取一点N，过点N作NMa，垂足为M，连接AM，AN，NB，证明AMMNNBAMMNNB你能完成这个证明吗？证明：如上右图，在ANB中， ABANBN， ANBNMNAMBNMN