第2章习题解答(韩).doc

习题二1证明：三对角方程组如果满足条件，则Gauss顺序消去法一定可进行到底（等价地系数矩阵存在LU分解），进一步说明系数矩阵是可逆矩阵。证明 已知满足条件只需证明按式(1.19)的计算步骤：得到的，这样必有LU分解从而也说明了是可逆矩阵。由假设，得，再由得又知，从而又知，类似可证，如此继续下去，可得最后2设是严格对角占优矩阵，即满足又经过一步Gauss顺序消去之后，化为证明也是严格对角占优矩阵，进一步说明是可逆矩阵。证明 记，则有又是对角占优矩阵，可知。故即也是严格对角占优矩阵。由是对角占优矩阵知；又因为矩阵也是严格对角占优矩阵，以此类推可知，经过步消元后所化成的上三角矩阵对角线上的元素都大于0，故是可逆矩阵。3证明如果非奇异有LDU分解，则分解式是唯一的。证明 因为非奇异，所以都非奇异，假设还存在另一个分解：，这里也一定非奇异。从可得上式左端是单位下三角矩阵，右端是上三角矩阵，所以两端都应是单位矩阵，因此即因此4设，（1）试对进行PLU分解：；（2）根据PLU分解求解。解 （1）（2）5设是实对称正定矩阵，试推导按列计算的Cholesky分解算法。解 6证明定理2.1。证明 又因为 故 得证7（1）设，试写出计算Householder矩阵满足：的算法；（2）证明算法2.4的正确性。解 （1）令则 其中令则其中（2）设, , ,.由于，两边分别左乘，有。即。由于，所以，即，所以8分别用Householder变换法和MGS法对进行QR分解解(1) Householder法对A进行QR分解令，调用算法2.1有，所以,故再令,调用算法2.1得,则,故.（2） MGS 法对A进行QR分解:所以 9（1）设，则的QR分解几乎是唯一的。即如果有两个QR分解式和，则，其中。也就是，分解因子除相差一个对角元为的对角矩阵外是唯一的。（2）证明：设为非奇异矩阵，当限制的分解式中的对角元为正数时，则分解是唯一的。证明 （1）假设有两个QR分解： ，则由是列满秩矩阵和具有单位正交列，可知矩阵可逆，所以（仍为非奇异的上三角矩阵），于是。这表明不仅为正交阵，而且还是对角元素绝对值全为1的对角矩阵。从而，所以均为分解因子相差对角元为的对角矩阵。（2）由（1）可以看出，如果在正交化过程中，令所有的，则按照上面的方法得到的一定满足，则由可知当限制的对角元为正数时，所得到的分解是唯一的。10设求的最小二乘问题的全部解。解 因为所以，齐次方程组的基础解系为的特解为所以的LS问题的全部解为11设是线性方程组的两个最小二乘解，证明。证明 由题意知，满足法方程组和，两式相减得：12证明的所有最小二乘解的集合是闭凸集。由此再证明中有唯一的元素具有最小2-范数。证明 先证S是凸集。假设，即所以，当时，有说明，是凸集。下面再证是闭集。设，只要证。由假设（常数），两边取极限，根据范数的连续性得说明。下证中有最小2-范数解（存在在性）。取半径充分大的闭球使，则是有界闭凸集。由范数的连续性，它必在取得最小值，设最小值点为，显然就是具有最小二范数的最小二乘解。下证最小二范数最小二乘解唯一。假设还有一个最小二范数最小二乘解，则取，由于是凸集，故。易验证，则（勾股定理）得，这与是最小二范数最小二乘解矛盾。注 以上的几何意义见下图13证明第3节中条