高一数学提高篇讲义(涵盖必修1,2,4,5)【答案精解】

一 集合与函数1.1 集合及其运算1、 集合的三要素： 、 、 2、 集合的表示方法： 、 、 3、 几个特殊集合： 、 、 、 、 、 4、区间表示数集：5、 元素与集合之间的关系（1） 元素与集合：是集合的元素记为 ，不是集合的元素记为 。（2） 集合与集合：是的子集，记作 或 。（3） 是的真子集，记作 或 。规定是任何集合的 ，是任何非空集合的 。个元素的集合有 个子集， 个真子集， 个非空真子集。6、 集合的运算：（1）交集 (2)并集 (3)补集【典型例题】1、 (2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数故这样的集合共有6个答案：62、 设集合Mm|m2n，nN，且m500，则M中所有元素的和为_解析：2n500，n0,1,2,3,4,5,6,7,8.M中所有元素的和S122228511.答案：5113、 已知集合Ax|xa，aZ，Bx|x，bZ，Cx|x，cZ，则A、B、C之间的关系是_解析：用列举法寻找规律答案：ABC4、设A，B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB，已知Ax|0x2，By|y0，则AB_.解析：AB0，)，AB0,2，所以AB(2，)5、(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)答案：12【巩固练习】1已知A1,2，Bx|xA，则集合A与B的关系为_解析：由集合Bx|xA知，B1,2答案：AB2若x|x2a，aR，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，x2a有解，故a0.答案：a03已知集合Ay|yx22x1，xR，集合Bx|2x0且b0；(2)a0且b0；(3)a0；(4)a0且b0，讨论得y3或y1.答案：3，16已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2若BA，则实数m_.解析：BA，显然m21且m23，故m22m1，即(m1)20，m1.答案：17设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ中元素的个数是_个解析：依次分别取a0,2,5；b1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，PQ1,2,6,3,4,8,7,11答案：88满足1A1,2,3的集合A的个数是_个解析：A中一定有元素1，所以A有1,2，1,3，1,2,3答案：39集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的_解析：结合数轴若ABa4，故“AB”是“a5”的必要但不充分条件答案：必要不充分条件10(2009年高考浙江卷改编)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB_.解析：UBx|x1，AUBx|0x1答案：x|0x111(2009年高考全国卷改编)设集合A4,5,7,9，B3,4,7,8,9，全集UAB，则集合U(AB)中的元素共有_个解析：AB4,7,9，AB3,4,5,7,8,9，U(AB)3,5,8答案：312已知集合M0,1,2，Nx|x2a，aM，则集合MN_.解析：由题意知，N0,2,4，故MN0,2答案：0,213若集合MxR|3x1，NxZ|1x2，则MN_.解析：因为集合N1,0,1,2，所以MN1,0答案：1,014已知全集U1,0,1,2，集合A1,2，B0,2，则(UA)B_.解析：UA0,1，故(UA)B0答案：015(2010年济南市高三模拟)若全集UR，集合Mx|2x2，Nx|x23x0，则M(UN)_.解析：根据已知得M(UN)x|2x2x|x3x|2x0答案：x|2x016集合A3，log2a，Ba，b，若AB2，则AB_.解析：由AB2得log2a2，a4，从而b2，AB2,3,4答案：2,3,417(2009年高考江西卷改编)已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为_解析：UAB中有m个元素，(UA)(UB)U(AB)中有n个元素，AB中有mn个元素答案：mn18(2009年高考重庆卷)设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,819定义ABz|zxy，xA，yB设集合A0,2，B1,2，C1，则集合(AB)C的所有元素之和为_解析：由题意可求(AB)中所含的元素有0,4,5，则(AB)C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：1820若集合(x，y)|xy20且x2y40=(x，y)|y3xb，则b_.解析：由点(0,2)在y3xb上，b2.21设全集I2,3，a22a3，A2，|a1|，IA5，Mx|xlog2|a|，则集合M的所有子集是_解析：A(IA)I，2,3，a22a32,5，|a1|，|a1|3，且a22a35，解得a4或a2，Mlog22，log2|4|1,2答案：，1，2，1,21.2 函数1、 函数的单调性：2、 函数的奇偶性：3、 函数的周期性：4、 函数的对称性：5、 函数的图像：6、 基本初等函数：7、函数的零点：【典型例题】1、设函数f(x)，若f(4)f(0)，f(2)2，则f(x)的解析式为f(x)_，关于x的方程f(x)x的解的个数为_个解析：由题意得 ，f(x).由数形结合得f(x)x的解的个数有3个答案：32、函数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_解析：0a1，ylogax为减函数，logax0，时，g(x)为减函数由0logaxx1.答案：，1(或(，1)3函数y 的值域是_解析：令x4sin2，0，ysincos2sin()，1y2.答案：1,24已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围.解：(1)xR，f(x)bg(x)xR，x2bxb0b4.(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24，当0即m时，则必需m0.当0即m时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x1x2)，若1，则x10.m2.若0，则x20，1m.综上所述：1m0或m2.5(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)解析：由已知0，得f(x)在x0，)上单调递减，由偶函数性质得f(2)f(2)，即f(3)f(2)0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_解析：令2x2x，当x(0，)时，(0,1)，而此时f(x)0恒成立，0a0，即x0或xf(0)0，所以f(1)0，即f(25)f(80)f(11)答案：f(25)f(80)0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1. 答案：(1，+)12、设函数，是公差为的等差数列，则（ ） B、 C、 D、13、(2009年高考全国卷)设alog3，blog2，clog3，则a、b、c的大小关系是_解析：alog31，blog2log23(，1)，clog3log32(0，)，故有abc.答案：abc14、(2010年广东广州质检)下列图象中，表示yx的是_解析：yx是偶函数，排除、，当x1时，x1，xx，排除.答案：15、(2010年济南市高三模拟考试)函数yax(a1)的图象的基本形状是_16、(2009年高考安徽卷改编)设a0)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在10，)上是单调增函数，求k的取值范围解：(1)由0及k0得0，即(x)(x1)0.当0k1时，x；当k1时，xR且x1；当k1时，x1.综上可得当0k0，k.又f(x)lglg(k)，故对任意的x1，x2，当10x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，即lg(k)lg(k)，(k1)()，k10，k0且a1.(1)对于函数f(x)，当x(1,1)时，f(1m)f(1m2)1时，0，ax是增函数，ax是增函数，f(x)是R上的增函数；当0a1，0且a1时，f(x)是R上的增函数(1)由f(1m)f(1m2)0有f(1m)f(1m2)f(m21)，解得m(1，)(2)f(x)是R上的增函数，f(x)4也是R上的增函数，由x2，得f(x)f(2)，f(x)41时，x2，x2(舍去)故xlog32.答案：log322、(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)，则不等式f(x)f(1)的解集是_解析：由已知，函数先增后减再增，当x0，f(x)f(1)3时，令f(x)3，解得x1，x3.故f(x)f(1)的解集为0x3.当xf(1)3，解得3x3.综上，f(x)f(1)的解集为x|3x3答案：x|3x33(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(3)的值为_解析：f(3)f(2)f(1)，又f(2)f(1)f(0)，f(3)f(0)，f(0)log242，f(3)2.答案：24若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_解析：令g(x)x2ax3a，由题知g(x)在2，)上是增函数，且g(2)0.4a4.答案：40)在(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围_解析：f(x)x(a0)在(，)上为增函数，0a.答案：(0，6(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是_解析：由题意知，f(x)为减函数，所以解得0a.7、(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是_解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(|x|)，由f(|2x1|)f()，再根据f(x)的单调性得|2x1|，解得x.答案：(，)8(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xR，f(2x)f(2x)，当f(3)2时，f(2011)的值为_解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2x)f(2x)f(x2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)f(35024)f(3)f(3)2.答案：29、(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)f(2)f(3)f(2010)_.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(2x)f(x)，即f(x2)f(x)，所以周期为4，f(1)1，f(2)f(0)0，f(3)f(1)1，f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，则f(1)f(2)f(3)f(2010)f(4)502f(2)0.答案：010(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2009)f(2010)的值为_解析：f(x)是偶函数，f(2009)f(2009)f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)周期为2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案：111(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x2)，若当2x0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a等于_解析：由题意知无解或a.答案：13、(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)()x；当x4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)_.解析：23422，1log232.32log230)在，上单调递增，则的最大值为_ 解析：由题意，得，00，函数f(x)ab，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x，恒有|f(x)m|2成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)ab(2sinx，cos2x)(cosx,2)sin2x(1cos2x)2sin(2x).相邻两对称轴的距离为，2，f(x)2sin(x).(2)x，x，2f(x)2.又|f(x)m|2，2mf(x)2m.,若对任意x，恒有|f(x)m|1时，T2.当0|a|2，观察图形中周期与振幅的关系，发现不符合要求答案：例8、如图是函数f(x)Asin(x)(A0，0，)，xR的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为_函数f(x)的最小正周期为；函数f(x)的振幅为2；函数f(x)的一条对称轴方程为x；函数f(x)的单调递增区间为，；函数的解析式为f(x)sin(2x)解析：据图象可得：A，T，故2，又由f()sin(2)1，解得2k(kZ)，又0，)的图象如图所示，则_.解析：由图可知，2，T，ysin(x)又sin()1，sin()1，2k，kZ.0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象_解析：f(x)sin(x)(xR，0)的最小正周期为，故2.又f(x)sin(2x)g(x)sin2(x)sin(2x)cos2x.答案：向左平移个单位长度例12 (2010年深圳调研)定义行列式运算：a1a4a2a3，将函数f(x)的图象向左平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是_解析：由题意，知f(x)sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)，其图象向左平移m个单位后变为y2sin(xm)，平移后其对称轴为xmk，kZ.若为偶函数，则x0，所以mk(kZ)，故m的最小值为.答案：例13 (2009年高考上海卷)当0x1时，不等式sinkx恒成立，则实数k的取值范围是_解析：当0x1时，ysin的图象如图所示，ykx的图象在0,1之间的部分应位于此图象下方，当k0时，ykx在0,1上的图象恒在x轴下方，原不等式成立当k0，kxsin时，在x0,1上恒成立，k1即可故k1时，x0,1上恒有sinkx.答案：k1已知sin，sin()，、均为锐角，则等于_解析：、均为锐角，cos().sin，cos .sinsin()sincos()cossin().0，.答案：例14 的值为_解析：1.例15 (原创题)函数f(x)(sin2x)(cos2x)的最小值是_解析：f(x)sin2xcos2x(1)例16 (2010年南京调研)已知：0，cos()，sin().(1)求sin2的值；(2)求cos()的值解：(1)法一：cos()coscossinsincossin，cossin，1sin2，sin2.法二：sin2cos(2)2cos2()1.(2)0，0，cos()0，|.(1)若coscossinsin0，求的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数解：法一：(1)由coscossinsin0得coscossinsin0，即cos()0.又|0时，点P(a，a)在第一象限，sin；当a0时，点P(a，a)在第二象限，sin.答案：2. （原创题)若一个角的终边上有一点P(4，a)，且sincos，则a的值为_解析：依题意可知角的终边在第三象限，点P(4，a)在其终边上且sincos，易得tan或，则a4或.答案：4或3. 已知sinx2cosx，则sin2x1_.解析：由已知，得tanx2，所以sin2x12sin2xcos2x.答案：4函数f(x)sin(x)sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_解析：f(x)cossinsin()，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T3，.答案：5. (2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)Acos(x) 的图象如图所示，f()，则f(0)_.解析：，3.又(，0)是函数的一个上升段的零点，32k(kZ)，得2k，kZ，代入f()，得A，f(0). 答案：6.如果tan、tan是方程x23x30的两根，则_.解析：tantan3，tantan3，则.答案：7.设(，)，(0，)，cos()，sin()，则sin()_.解析：(，)，(0，)，又cos()，sin().(0，)，(，)sin()，cos()，sin()cos()()cos()cos()sin()sin()()，即sin().8. 已知向量m(2cos，1)，n(sin，1)(xR)，设函数f(x)mn1.(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)，f(B)，求f(C)的值解：(1)f(x)mn1(2cos，1)(sin，1)12cossin11sinx.xR，函数f(x)的值域为1,1(2)f(A)，f(B)，sinA，sinB.A，B都为锐角，cosA，cosB.f(C)sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB.f(C)的值为.9. 已知角(，)，且(4cos3sin)(2cos3sin)0.(1)求tan()的值；(2)求cos(2)的值解：(4cos3sin)(2cos3sin)0，又(，)，tan，sin，cos，(1)tan()7.(2)cos22cos21，sin22sincos，cos(2)coscos2sinsin2().10. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。18本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。解：（I）由已知可得，又正三角形的高为，从而所以函数的周期，即函数的值域为.6分（II）因为，由（I）有，即由，知所以故12分三 数列3.1数列与不等式【典型例题】 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和一先求和后放缩例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以二先放缩再求和1放缩后成等差数列，再求和例2已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 所以， ， 所以（2）因为，所以，所以2放缩后成等比数列，再求和例3 （2012广东）设数列的前项和为，满足，且，成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有。（1）且成等差数列 解得（2） -化得 ，故数列成首项为，公比也为的等比数列，于是有， （3）（当n=1时，取等号。）， （当且仅当n=1时，取等号。）3放缩后为差比数列，再求和例4已知数列满足：，求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即所以数列为递增数列，所以，即，累加得：令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得4放缩后为裂项相消，再求和例5 已知数列中，证明：放缩一：点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？放缩二：点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？放缩三： 本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。3.2数列与其他知识综合问题【典型例题】例1、已知数列为等差数列，每相邻两项，分别为方程，（是正整数）的两根. W1. （1）求的通项公式;2. （2）求之和; （3）对于以上的数列和,整数981是否为数列中的项？若是,则求出相应的项数；若不是,则说明理由.1.解：(1) 设等差数列的公差为d，由题意得 由 得 由 另解:由 得 (其余略)(2) (10分) (3) n是正整数, 是随n的增大而增大,又 981, 981 整数981不是数列中的项. 例2、已知数列、 满足：，an+bn=1，. (1)求：b1、b2、b3、b4、b5. (2)求数列的通项公式；(3)设，求实数a为何值时恒成立1. 解：（1) （2） 数列是以4为首项，1为公差的等差数列 .3分 (3) =+.+ =+.+=.5分 .7分 由条件可知(a1)n2+(3a6)n81时，由二次函数的性质知不可能成立al时，对称轴 f(n)在为单调递减函数 .10分 a1时恒成立 综上知：a1时，恒成立.12分例3、公差大于零的等差数列的前项和为，且满足。（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列是等差数列，求非零常数的值；（3）在（2）的条件下，求的最大值。例4. 已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；(2)若，令，求数列前项和；(3)在(2)的条件下对任意，都有，求实数的取值范围. 22.解：(1) 由求得，所以，求得.(2) ，错位相减得(3) ，所以为递增数列. 中的最小项为，所以.例5