相似三角形常用辅助线.ppt

相似三角形中的辅助线,淮北市开渠中学王毅,相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：,例题：,如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，,求：BE：EF的值.,D,A,B,C,E,F,E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线,D,A,B,C,E,F,n,2k,k,解法1：,过点D作CA的平行线交BF于点P，,P,?y,y,n,y,D,A,B,C,E,F,n,解法1：,过点D作CA的平行线交BF于点P，,P,n,2k,k,y,y,4y,?y,BE：EF=5：1.,则,PE=EF,BP=2PF=4EF，,所以BE=5EF,D,A,B,C,E,F,n,n,2k,解法2：,过点D作BF的平行线交AC于点Q，,y,k,Q,?y,2y,D,A,B,C,E,F,n,n,解法2：,过点D作BF的平行线交AC于点Q，,Q,2k,k,?y,2y,5y,y,BE：EF=5：1.,D,A,B,C,E,F,2k,解法3：,过点E作BC的平行线交AC于点S，,S,n,n,k,?k,D,A,B,C,E,F,解法3：,过点E作BC的平行线交AC于点S，,S,n,n,?y,5y,y,2k,k,D,A,B,C,E,F,n,n,2k,解法4：,过点E作AC的平行线交BC于点T，,T,D,A,B,C,E,F,n,n,2k,解法4：,过点E作AC的平行线交BC于点T，,T,y,?y,5y,BD=2DC，,BE：EF=5：1.,练习：,如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，,求AF：CF的值.,D,A,B,C,E,F,E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,D,A,B,C,E,F,解法1：,过点D作CA的平行线交BF于点P，,P,n,n,2x,2x,2k,k,3x,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法2：,过点D作BF的平行线交AC于点Q，,Q,n,n,2x,2x,2k,k,x,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法3：,过点E作BC的平行线交AC于点S，,S,n,n,h,2h,4h,y,5y,4y,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法4：,过点E作AC的平行线交BC于点T，,T,n,n,h,h,4h,5y,6y,4y,AF：CF=2：3.,作平行线,例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：,证明：过点C作CG/FD交AB于G小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。,例2.如图，ABC中，ABAE),求证：AEFECF,2、已知，在ABC中，若AB=BC,B=90,AD为BC边的中线，过B作直线BPAD于P交AC于E，求证：AE=2EC;AEB=CED.,二、作垂线,3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：,证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N,（1）,（2）,又,AN=CM,又,（1）+（2）,2、中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：,2、证明：过P作PEAC于E，PFCB于F，则CEPF为矩形PF,EC,EC=PF,（1）在,和,中：CPMN于Q,又,即,由（1）（2）得,（2）,三、作延长线,例5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。,分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。,解：延长BA、CD交于点PCHAB，CD平分BCDCB=CP，且BH=PHBH=3AHPA：AB=1：2PA：PB=1：3ADBCPADPBC,例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF,解析：欲证式即由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。（因为BFG为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H,则,又ED=ECFG=FH又易证RtCFHRtGFB,FGFH=CFBF,FG=FHFG2=CFBF,四、作中线,例7如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。,解：取BC的中点M，连AMABACAM=CM1=C又BD=DC,又DC=1MC=,BC,（1）又,又EC=1,由（1）（2）得，,（2）,小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造,与,相似是解题关键,3、,理由？（用三种解法）,方法一：如图（1