矩阵论简明教程课件(整理全)

,MatrixTheory,矩阵论教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著科学出版社,第一章矩阵的基础知识,1.1矩阵的运算,1.2方阵的行列式,1.3矩阵的秩,1.4特殊矩阵类,1.1矩阵的运算,一、矩阵的概念,1、数集R实数集，C复数集,2、矩阵的记号,！,Notations,二、矩阵的运算,1、加法，减法,2、数乘,3、乘法,4、转置与共轭转置,三、矩阵的块运算,1、加法，减法,2、数乘,3、乘法,4、转置与共轭转置,1.2方阵的行列式,一、行列式的定义与性质,二、块矩阵的行列式,即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。,Example1,证：,Example2,证：,Example3,证：,三、Vandermond行列式,MatrixTheory,第一章矩阵的基础知识,1.1矩阵的运算,1.2方阵的行列式,1.3矩阵的秩,1.4特殊矩阵类,一、矩阵秩的定义及基本性质,1、秩的定义,1.3矩阵的秩,2、基本性质,（1）初等变换不改变矩阵秩；,二、矩阵秩等式,三、矩阵秩不等式,定理1,推论1,1.4特殊矩阵,一、几类基本的特殊矩阵,1、零矩阵，单位矩阵,2、对角矩阵,3、三角矩阵,二、正规矩阵,定义1,以下矩阵都是正规矩阵：,定义2,三、初等矩阵,1、定义,有以下三类初等矩阵：,定义3,2、三种初等矩阵的统一表示,Remark,四、其他特殊矩阵,MatrixTheory,第1章矩阵的相似变换,2.1矩阵的特征值与特征向量,2.2矩阵的相似对角化,2.3矩阵的Jordan标准形,2.4Hamilton-Cayley定理,2.5矩阵的酉相似,一、特征值与特征向量,1、定义,2.1矩阵的特征值与特征向量,定义1,2、特征多项式,定义2,！,Remarks,3、特征值与特征向量的求法,例1,解,二、特征值与特征向量的性质,定义3,定理1,定理2,定义4,定理3,定理4,！,Remarks,2.2矩阵的相似对角化,一、矩阵的相似,1、定义,定义1,2、性质,定理1,定理2,Proofof（2）,二、相似对角化,1、定义,定义2,2、相似对角化的条件,定理3,Proof,推论1,推论2,Example2,Solution,Example3,Solution,MatrixTheory,第二章矩阵的相似变换,2.1矩阵的特征值与特征向量,2.2矩阵的相似对角化,2.3矩阵的Jordan标准形,2.4Hamilton-Cayley定理,2.5矩阵的酉相似,一、Jordan标准形,1、定义,定义1,2.3矩阵的Jordan标准形,！,Remark,2、矩阵的Jordan分解定理,定理1,二、Jordan标准形的求法,1、初等变换法,定义2,定理2,！,Reamrk,定义3,由初等变换求矩阵A的Jordan标准形方法：,例1,解,2、行列式因子法,定义3,定理3,由行列式因子求矩阵A的Jordan标准形方法：,例2,解,例3,解,三、相似变换矩阵的求法与Jordan标准形的幂,1、相似变换矩阵的求法,例4,解,！,Remark,2、Jordan标准形的幂,定理4,！,Remark,例5,解,MatrixTheory,第二章矩阵的相似变换,2.1矩阵的特征值与特征向量,2.2矩阵的相似对角化,2.3矩阵的Jordan标准形,2.4Hamilton-Cayley定理,2.5矩阵的酉相似,一、Hamilton-Cayley定理,1、定理,定理1（Hamilton-Cayley定理）,2.4Hamilton-Cayley定理,证明,1、利用定理1可以简化矩阵运算,例1,解,二、Hamilton-Cayley定理的应用,2、可逆矩阵逆的多项式表示,三、零化多项式与最小多项式,1、零化多项式,定义1,！,Notations,2、最小多项式,定义2,定理2,证略,3、零化多项式与最小多项式的关系,定理3,证,定理4,证略,例2,解,MatrixTheory,第二章矩阵的相似变换,2.1矩阵的特征值与特征向量,2.2矩阵的相似对角化,2.3矩阵的Jordan标准形,2.4Hamilton-Cayley定理,2.5矩阵的酉相似,2.5矩阵的酉相似,1、向量的内积,定义1,定理1,2、向量的长度,定义2,向量的长度具有如下性质：,定理2,3、Cauchy-Schwarz不等式,定理3（Cauchy-Schwarz不等式）,证,1、定义,定义3,定理4,证,定义4,2、Schmidt正交化,3、单位化,例1,解,三、酉矩阵,1、定义,定义5,！,Notations,2、性质,定理5,定理6,证,四、酉相似,1、定义,定义6,2、Schur分解,定理7（Schur分解定理）,证,从而由归纳法可以证明。,五、酉相似对角化,1、正规矩阵,定义7,！,Notations,以下矩阵都是正规矩阵：,定理8,证：必要性,充分性：,2、Hermite矩阵，反Hermite矩阵及酉矩阵的特性,定理9,证,酉相似对角化方法：,例2,解,六、Hermite矩阵的正定性,1、定义,定义8,2、正定Hermite矩阵的性质,定理10,定理11,3、非负定Hermite矩阵的性质,定理12,MatrixTheory,第4章矩阵分析,4.1向量的范数,4.2矩阵范数,4.3矩阵级数,4.4矩阵函数,4.5矩阵的微分与积分,4.1向量的范数,一、向量的范数,R