群的同态映射

群的同态与同构,群的同态与同构,同态与同态映射同构与同构映射满同态同构、同态与系统性质的保持,同态与同态映射,设G1,*与G2,*都是群，如果存在映射:G1G2，使对任意x,yG1,(x*y)=(x)*(y)，则称是群同态映射如果上述是满射，则称为满同态同构是同态的特例。例：整数加系统(Z,+)和对3剩余加系统(Z3,+3)同态映射：:ZZ3,f(3k+r)=r，这是满同态,f,一个满同态的例子,定义系统：(e,o,*)运算“*”的运算表如下：,eo,eooe,*,eo,则f:Ze,o:,是从(Z,+)到(e,o,*)的满同态映射。,这可以用来证明：1,2,.,1001这1001个自然数，按照任意的组合实施加/减，得到的结果不可能是1001。,满同态与运算性质的保持（1）,结合律假设f:G1G2是满同态映射，若G1满足结合律，即对任意x,y,zG1,(x*y)*z=x*(y*z)则：对任意x,y,zG2,因为f是满射，必有x,y,zG1,使得f(x)=x,f(y)=y,f(z)=z,因此：(x*y)*z=(f(x)*f(y)*f(z)=f(x*y)*f(z)=f(x*y)*z)=f(x*(y*z)=f(x)*(f(y)*f(z)=x*(y*z)为什么必须是满同态？可以类似地讨论交换律,满同态与运算性质的保持（2）,单位元素假设f:G1G2是满同态映射，若G1有单位元e，即对任意xG1,(x*e)=(e*x)=x则：令f(e)=eG2,对任意xG2,一定存在xG1,x*e=f(x)*f(e)=f(x*e)=f(x)=x，同理可得e*x=x，因此f(e)=e是G2的单位元素。类似地可以讨论零元素。,满同态与运算性质的保持（3）,逆元素假设f:G1G2是满同态映射，若G1的每个元素均有逆元素，即对任意xG1,存在x-1G1,满足(x*x-1)=(x-1*x)=e,其中，e是G1的单位元素。则：任给xG2,由f是满射可知，存在xG1,使得f(x)=x。x*f(x-1)=f(x)*f(x-1)=f(x*x-1)=f(e);同理可得：f(x-1)*x=f(e)。已知f(e)=e即G2的单位元素，由逆元素的唯一性可知：x-1=f(x)-1=f(x-1),群同构与同构映射,群(G1,*)与(G2,*)同构(G1G2)当且仅当：存在一一对应的函数(同构映射)f:G1G2,满足：对任意x,yG1,f(x*y)=f(x)*f(y)“先(G1中的)运算后映射等于先映射后运算(G2中的)”例：正实数乘群(R+,)和实数加群(R,+)同构映射f:R+R:f(x)=lnx注意：可能有多个同构映射，如f(x)=lgx也是。,同构映射的性质,1、对于同构的群G1与G2，我们认为G1与G2是代数相同的，因为这是对于近世代数所研究的问题来说，除了符号与名称上的区别之外，二者没有实质差异2、设：G1G2是群同构映射，那么的逆映射G2G1也是群的同构映射3、设：和都是群同构映射，那么也是群同态映射,同构关系是等价关系,自反：对任意群(G,*),GG恒等映射f(x)=x是同构映射对称：对任意群G1,G2,若G1G2,则G2G1设从G1到G2的同构映射为f,则从G2到G1的同构映射是f-1传递：对任意群G1,G2,G3,若G1G2,且G2G3，