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文档简介

高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.1 一、填空 1、设 2 3 :2,1, D x D xyx xydxdy y = . 13 5 (2,2) (1,1)1 (2, ) 2 2 3 D x dxdy y = 2 1 3 x x x dy y 2 1 dx 2、设:,2 ,1D yx yx y= ,将( , ) D f x y dxdy 化为累 次积分= . ()11- ,- 1 1 2 -,- 2 ( , ) y y f x y dx 0 1 dy 二重积分练习题 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.2 3、 设 22 :D xyax+, 22 2(0)xyax a+将( , ) D f x y dxdy 。 O x y 2 cos cos ( cos , sin ) a a f rrrdr 2 2 d 4、 交换积分次序 244 024 ( , )( , ) yy yy dyf x y dxdyf x y dx + 为 _。 4 22 2 2 4 ( , ) x x f x y dy 2 2 dx 2 5、以xoy面上的圆 22 :(0)D xyax a+为底,曲面 22 zxy=+为顶的曲顶柱体的体积为 。 cos 2 0 a Vrrdr = 2 2 d 4 3 a 32 化为极坐标系下的累次积分为 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.3 6、将 22 1 D dxdy xy , 22 :D xyy+化为极坐标下的累次 积分 。 x y 0 sin 20 1 r dr r 0 d 7、交换积分次序 11 01 ( , ) x x dxf x y dy 为 。 x y 0 1yx= 1yx= 1 1 1 1 0 ( , ) y f x y dx + 0 1 dy + 1 0 ( , ) y f x y dx 1 0 dy 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.4 1、设 22222 :, D D xyRx IRxy dxdy+= 。 A A. 3 1 R (34) 9 B.0 C. 3 1 R (34) 9 D. 3 1 R 3 2 、 设 22 :1D xy+,f是D上 的 连 续 函 数 , 则 () 22 D fxydxdy+= 。 A A. 1 0 2( )r f r dr B. 1 0 4( )r f r dr C. 1 2 0 2()f rdr D. 1 0 2( )f r dr 二、选择 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.5 3、设( , )f x y是连续函数,则 42 0 ( , ) x x dxf x y dy = 。 A A. 2 4 0 4 ( , ) y y dyf x y dx B. 2 4 4 0 ( , ) y y dyf x y dx C. 2 4 4 0 ( , ) y y dyf x y dx D. 2 0 4 4 ( , ) y y dyf x y dx (4,4) 三、计算 1、 11 0 y x y Idye dx= x y 0 yx= 1x = 1 0 y x x e dy 1 0 Idx= 1 0 0 x y x x edx= 1 0 (1)xedx= 1 2 e = (1,1) 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.6 2、 22 sin D xy dxdy+ , 2222 :4Dxy+ 2 sinrrdr 2 0 d = 解:原式 2 ( cos )rdr 2 0 d = 22 2 0 (coscos)rrrdr d =+ 2 0 ( 2cos )d =+ 2 6= 2 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.7 3、将 22 00 ax dxxy dy+ 化为极坐标形式的二次积分, 并求值。 解: x y 0 yx= xa= a xa= 极坐标方程 secra= 22 00 ax dxxy dy+ sec 2 0 a r dr 4 0 d = 3 3 4 0 sec 3 a d = 3 4 0 sectan 3 a d = 3 4 0 sectan 3 a = 3 4 0 tansec 3 a d 33 3 4 0 2(secsec ) 63 aa d = 3 2ln( 21) 6 a =+ 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.8 1) 2222 ( ),:4 ,8 ,2 D x fdxdy D xyx xyx yx yx y +=+= 解:原式 8cos 4cos (cot )frdr arctan2 4 d = 2) 222222 ,:, D xy dxdy D xyx xyy+ 解:原式 sin 0 r rdr 4 0 d = cos 0 r rdr 2 4 d + 45 2 918 = 4、把下列二重积分化为极坐标系下的累次积分: 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.9 5、设( )f x在0,1上连续,证明: 11 21 000 1 ()( )(1)( ) 1 x nn dxxyf y dyyf y dy n = 。 x y 0 yx= 1x = 1 证: 左 1 2 ()( ) n y xyf y dx 1 0 dy= 11 1 0 1 ( ) () 1 n y f yxydy n = 1 1 0 1 (1)( ) 1 n yf y dy n = =右 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.10 6、将二重积分( , ) D f x y dxdy 化成极坐标系下的二次积分, 其中D是由 22 (1)1xy+=, 22 4xy+=(均为上半圆)和 直线(0)yx y= 所围成的区域。 x y 022 yx= 1 解: 2 2cos ( cos , sin )f rrrdr 2 0 d 2 0 ( cos , sin )f rrrdr 3 4 2 d + 2cosr= 原式原式= 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.11 23 2 D 1 D 7、计算 22 4 D xydxdy+ , 22 :9D xy+ 解: 1 22 (4) D xydxdy= 2 22 (4) D xydxdy+ 2 2 0 (4)rrdr 2 0 d = 3 2 2 (4)rrdr 2 0 d + 41 2 = 原式原式 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.12 8、 D xydxdy ,:0,0,1,1D xyxy= x y 01 1 1 D 2 D 解: 1 () D yx dxdy= 2 () D xy dxdy+ 1 () x yx dy 1 0 dx= 0 () x xy dy 1 0 dx+ 1 3 = 9、 22 222 sin ( ) xy xyt F tedxdy + + = ,求( )F t。 解: ( )F t sin 0 t r redr 2 0 d = ( )F t sin 0 2 t r redr= sin 2 t te= 原式原式 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.13 1) 11 00 ( , )dxf x y dy 2) 2 1 00 ( , ) x dxf x y dy 解: x y 01 1 1 D 2 D 1) 根据所给积分画出几分区域如图 11 00 ( , )dxf x y dy sec 0 ( cos , sin )f rrrdr 4 0 d = csc 0 ( cos , sin )f rrrdr 2 4 d + 1x =secr= 1y=cscr= 2) 2 1 00 ( , ) x dxf x y dy sec sectan ( cos , sin )f rrrdr 4 0 d = 2 yx= tansecr= 10、将下列积分化成极坐标系下的二次积分: 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.14 11、计算() D xy dxdy+ , 22 :,4,1D yxyxy= 解: 1 2 yx= 2 4yx= 原式 D xdxdy= D ydxdy+ 0= 2 y y ydx 1 0 2dy= 3 1 2 0 y dy= 2 5 = 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.15 12、 22 1() D xyf xydxdy+ , 3 :,1,1D yx xy= =,其中其中 ( )f u为连续函数。为连续函数。 11 解:原式 22 () DD xdxdyxyf xydxdy=+ 3 1 x dy 1 1 xdx = 3 1 22 () x y f xydy+ 1 1 xdx + 2 5 = + 3 1 1 22 1 1 () 2 x x F xydx + 2 5 = + 1 226 1 1 (1)() 2 xF xF xxdx + 奇函数奇函数 2 5 = 高等数学高等数学Copyright2012 by Samw. All rights reserved.16 13、() D Ixy dxdy=+ , 22 :1D xy+ 解: x y 0 1 D I = 1 4() D xy dxdy+

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