第三章-单自由度系统的受迫振动(4).ppt

,第3章单自由度系统的受迫振动,振动理论与应用,TheoryofVibrationwithApplications,第3章单自由度系统的受迫振动,3.1简谐激励作用下的受迫振动3.2周期激励作用下的受迫振动3.3任意激励作用下的受迫振动3.4响应谱,第3章单自由度系统的受迫振动,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.1.1振动微分方程3.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论3.1.3受迫振动系统力矢量的关系3.1.4受迫振动系统的能量关系3.1.5等效粘性阻尼3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段3.1.7隔振系统,受迫振动,激励形式,系统在外界激励下产生的振动。,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.4.1振动微分方程,简谐激振力,F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为,具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。,3.1简谐激励作用下的受迫振动,简谐激励的响应全解,有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程,微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,3.4.1振动微分方程,3.1简谐激励作用下的受迫振动,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,3.4.1振动微分方程,3.1简谐激励作用下的受迫振动,x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：,9,第2章单自由度系统的自由振动,利用复指数法求解系统的系统的特解：,其中，复振幅为：,将上式带入方程中：,有：,10,有：,根据：,3.1简谐激励作用下的受迫振动,这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。,稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。,3.4.1振动微分方程,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论,则有,若令,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论,3.1简谐激励作用下的受迫振动,在低频区和高频区，当1的区域(高频区或惯性控制区)，响应与激励反相；阻尼影响也不大。,3、1的附近区域(共振区)，急剧增大并在1略为偏左处有峰值。通常将1，即pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，1时，总有，/2,这也是共振的重要现象。,3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论,3.1简谐激励作用下的受迫振动,例题,例质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。,解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。,3.1简谐激励作用下的受迫振动,根据达朗贝尔原理，有,=h,例题,3.1简谐激励作用下的受迫振动,电机作受迫振动的运动方程为,当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率wn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。,例题,3.1简谐激励作用下的受迫振动,阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。,幅频特性曲线和相频特性曲线,例题,3.1简谐激励作用下的受迫振动,20,2、支承谐波如图所示系统，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为y=bsinwt，求物块的运动规律。解：选取y=0时物块的平衡位置为坐标原点，建立固定坐标轴ox铅直向上为正，如图所示，物块m的受力分析为：,3.1简谐激励作用下的受迫振动,21,3.1简谐激励作用下的受迫振动,利用复指数法求解系统的系统的特解：,22,3.1简谐激励作用下的受迫振动,在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成,无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。,第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,24,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,过渡阶段的响应,25,若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是n和两个不同频率简谐振动的叠加。,3.1简谐激励作用下的受迫振动,3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,26,3.1.7简谐激励受迫振动理论的应用,一、积极隔振用隔振器将振动着的机器与地基隔离。将振源隔离，防止或减小传递到地基上的动压力，从而抑制振源对周围环境的影响。隔振器的组成：弹簧和阻尼器模型系统。,0,如图所示，作用在质量m上的激振力F（t）=Hsinwt在采用隔振器前，传递到地基上的动压力为Fmax=H采用隔振器后，系统的受迫振动方程为：,27,传递到地基上的动压力为：,根据两个同频率简谐振动的合成，得出系统传递到地基上的最大动压力为HT：,3.1.7简谐激励受迫振动理论的应用,28,3.1.7简谐激励受迫振动理论的应用,二、消极隔振振源来自于地基，将需要保护的设备与振源隔离，防止或减小地基运动对物体的影响，其隔振效果也用传递率表示，它表示隔振后传递到物体上的振动幅值与地基运动的振动幅值之比，即有：,三、隔振分析当，隔振系数1，才有隔振效果，此时增加阻尼会使隔振效果变坏，因此，系统应当具有较低的固有频率和较小的固有频率。,第3章单自由度系统的受迫振动,3.2周期激励作用下的受迫振动,3.2周期激励作用下的受迫振动,先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。,设粘性阻尼系统受到周期激振力,由谐波分析方法，得到,系统的运动微分方程为,3.2周期激励作用下的受迫振动,由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应,3.2周期激励作用下的受迫振动,例3-3弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。(其中),解：周期性矩形波的基频为,矩形波一个周期内函数,将矩形波分解为,3.2周期激励作用下的受迫振动,可得稳态响应,将矩形波分解为,从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。,画出系统的响应频谱图,第3章单自由度系统的受迫振动,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.1系统对冲量的响应3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3.3单位脉冲响应函数的时-频变换3.3.4系统对任意激振力的响应3.3.5传递函数,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.1系统对冲量的响应,物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度,对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。,1.用冲量描述瞬态作用,冲量表示力在一段时间内的累积作用效果,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.1系统对冲量的响应,如果取为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应,初位移,初速度,得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应,如果作用在的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为,返回首页,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.1系统对冲量的响应,同理，如果在t=0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应,如果作用在的时刻，则物块的响应为：,由于,此时系统的振动特性没有实质性的任何改变，只是在时间轴上平移了时刻。,用(t)函数表示作用在极短时间内冲击力,3.3.2系统对单位脉冲力的响应,3.3任意激励作用下的受迫振动,表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数1。,函数的定义是,从积分式可见，如果时间以秒计，(t)函数的单位是1/s。,用单位脉冲(unitimpulse)函数(t)表示冲击力,3.3.2系统对单位脉冲力的响应,3.3任意激励作用下的受迫振动,如果在t=0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力,当，即施加单位冲量时，冲击力为,F是冲击力,(t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,3.3.2系统对单位脉冲力的响应,3.3任意激励作用下的受迫振动,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,单位脉冲力作用等价于冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，,根据初始条件可确定A和。最后得其响应,3.3.2系统对单位脉冲力的响应,3.3任意激励作用下的受迫振动,为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应,有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应,称为单自由度系统的时域响应函数,3.3.2系统对单位脉冲力的响应,3.3任意激励作用下的受迫振动,h(t)有以下特性,不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲冲量的响应，其量纲为位移/冲量。,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,如：作用有一任意激振力F(t),欠阻尼情形物块的运动微分方程,将激振力看作是一系列元冲量的叠加,元冲量为：,得到系统在元冲量的作用下的响应为：,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在时间区间内各个元冲量的总和，即,得到系统的响应,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。,对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应,用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为,对于无阻尼振动系统的响应为,tt1即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。即：,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,例3-4无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。,代入,解：取开始加力的瞬时为t=0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且。,49,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,积分后得响应为,在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力F0的方向移动一距离,该距离为在力F0作用下弹簧产生的静变形。,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,若阶跃力从t=a开始作用，则系统的响应为,ta,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.4系统对任意激振力的响应,解：在阶段，系统的响应显然与上例的相同，即,例3-5无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力,作用，试求其响应。,当tt1时，F(t)=0，得,3.3任意激励作用下的受迫振动,系统的响应为,tt1,实际上，在tt1阶段，物块是以t=t1的位移x1和速度为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。,将初始条件,3.3.4系统对任意激振力的响应,53,例：试确定一个自由度系统对图中施力函数的无阻尼响应,54,（1）时,解法一：,55,（2）时,单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应,56,（3）时,57,因此，系统响应：,58,例题,3.3任意激励作用下的受迫振动,系统基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。,解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为,系统的激振力为,可得响应为,其中,59,例题,3.3任意激励作用下的受迫振动,解：由上题可得系统的微分方程为,基础有阶跃位移,系统的激振力为,可得响应为,上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。,60,例题,3.3任意激励作用下的受迫振动,求系统响应。,解：由图得激振力方程为,当0tt1时，,零初始条件的无阻尼系统受图示半正弦脉冲作用，若,61,例题,3.3任意激励作用下的受迫振动,无阻尼系统的支承运动加速度如图，求零初始条件下系统的相对位移。,解：系统运动的微分方程为,支承运动加速度方程为,当0tt1时，,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.5传递函数,3、用拉斯变化求解系统的响应作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯(简称拉氏)变换方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数关系。1）拉氏变换2）拉氏逆变换：,63,3.3任意激励作用下的受迫振动,3.3.5传递函数,3）用拉斯变化求解系统的响应,现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程,其中f(t)表示任意的激振