数值积分在MATLAB中的应用.doc

目 录一、摘要1二、引言1三、数值积分法3(一) 矩形公式3(二) 梯形公式4(三) 辛普森公式4四、求数值积4(一) 矩形公式命令4(二) 梯形公式命令4(三) 辛普森公式命令5五、数值算例5(一) 算例15(二) 算例26(三) 算例37结论10致谢10参考文献10 数值积分在MATLAB中的应用摘要:介绍了数值积分法的几种计算公式及相应的MATLAB 命令,并给出了用MATLAB 编程求数值积分的实例.牛顿莱布尼兹公式在计算积分的方法和解决实际问题中期了很大作用，但在某些领域遇到一些复杂情况，用牛顿莱布尼兹公式则无法求解。这时可以“数值积分”的方法求定积分。“数值积分”法中常用的方法有“矩形公式”，“梯形公式”和“辛普森公式”等。MATLAB中求数值积分的命令有：矩形公式命令 sum；梯形公式命令 trapz；辛普森公式命令 quad。使用这些命令可以快速计算一些数值积分问题。关键词:MATLAB ;数值积分;矩形公式;梯形公式;辛普森公式Numerical integration in MATLAB ApplicationsAbstract: Introduced several numerical integration formula and the corresponding MATLAB commands, and gives the Numerical Integration with MATLAB programming examples. Newton - Leibniz formula in calculating the integral method to solve practical problems and a significant role in the medium-term However, the complexities encountered in some areas, with Newton - Leibniz formula can not be solved. Then you can numerical integration method seeking the definite integral. Numerical integration method commonly used method in the rectangular formula, trapezoidal rule and Simpson formula, and so on.Numerical Integration in MATLAB commands are: rectangle formula order sum; trapezoidal formula order trapz; Simpson formula command quad. Use these commands to quickly calculate some numerical integration problems.Key words: MATLAB; Numerical integration; Rectangular formula; Trapezoid formula; Simpson formula引言是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如和。在计算要求相同的情况下，使用的编程工作量会大大减少。的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如距阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。数值积分在众多方面都有着重用的作用，但其计算太过庞大和复杂。而拥有庞大的数学运算函数，使数值积分在中的计算变得简单，所以我们要了解数值积分在中的应用。在一元微积分学中，若已知函数在闭区间上连续且其原函数为，求在该区间上的定积分可用牛顿莱布尼兹公式求解，即。我们知道牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本定理，其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。从几何上看，它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系。而在中可以用符号积分命令int求该命令格式为。例1 求解输入命令: ； = int (sin()，0，)，结果显示为：= 1。用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用，但它并不能解决定积分计算的所有问题。在技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿莱布尼兹公式求解。其可能出现的情况4有：(1) 某些被积函数 ,其原函数无法用初等函数表示,如,等。(2) 函数结构复杂,求其原函数非常困难。(3) 函数的结构虽然简单且其原函数存在,但其原函数的结构相对复杂。(4) 函数没有具体的表达式,只有一些由试验测试数据形成的表格或图形。而在这些情况下,可采用“数值积分”的方法求出定积分(近似值) 。一、数值积分法用数值积分的方法求一个函数在区间上的定积分，可利用定积分的定义来求解：，设，则此时称为数值积分。显然，数值积分就是的近似值，并且当越大，就越接近于精确值。由于取值不同，数值积分的结果会有所不同。5数值积分的计算公式也有多种：(一) 矩形公式将积分区间等分，每个小区间宽度均为，称为积分步长。记= =，在小区间上用小矩形面积近似小曲边梯形的面积，若分别取左端点和右端点的函数值为小矩形的高，则分别得到两个曲边梯形面积的近似计算公式：, （1.1）, （1.2）称公式（1.1），（1.2）分别为左、右矩形公式，两个矩形面积分别小于和大于所求曲边梯形的面积。 (二) 梯形公式如果将二者求平均值，则每个小区间上的小矩形变为小梯形，整个区间上的值变为： （1.3）其中，。（1.3）式称为梯形公式。(三) 辛普森公式为了提高计算结果的精度，用分段二次插值函数代替。由于每段要用到相邻两个小区间端点的三个函数值，所以，小区间的数目必须是偶数，记 =， = 0，1， ，在第个小区间上用三个节点(，)，(，)， (，) 作二次插值函数，然后积分可得：求出m 段的和就得到整个区间上的近似积分，即 （1.4）（1.4）式称为辛普森公式6。二、求数值积分 （一）矩形公式命令命令格式: 输出一个向量的分量的和,按矩形公式（1.2）, （1.2）计算积分的近似值。 返回大小和相同的数组，包含的是将矩阵进行梯形积分的累积值。如果dim已给定，则在dim维内进行计算7。（二）梯形公式命令命令格式： 计算出函数的积分并将结果返回到8。向量和有相同的长度，代表曲线上的一点。曲线上点的距离不一定相等，值也不一定有序。然而，负值间距和子区间被认为是负值积分。 计算方法同上，但值间隔为19。 将中每列的值带入的函数算出其积分，并返回一组包含积分结果的向量。的列向量必须和向量的长度相同。 在矩阵中dim指定的维内进行数据积分。如果给定向量，则的长度必须与相同1。（三）辛普森公式命令命令格式： 返回在区间上的积分近似值。字符串包含一个与相对应的函数名，也就是预定义函数或者是M文件。这个函数接收一个向量参数，并返回一个向量结果。利用辛普森规则执行递归的积分，计算误差为2。 求的积分近似值，其相对误差由参数定义。否则，计算过程同上。 求的积分近似值，其相对误差由参数所定义。如果参数是非零值，则在图形中显示求值的点。 如果是非零值，则画出积分图形。 可以与一样用于相同的参数组合并返回相同的结果，但使用更高精度的方法10。因此，如果被积函数的导数在某一区间内是不定的，例如： ,使用此命令将会更好一些。和都要求被积函数在整个区间里是有限的。 计算双变量函数的二重积分。函数中的第一个自变量用于内层积分。内层积分在min1和max1之间进行，外层积分在min2和max2之间进行。变量指定相对误差。的使用方法与相同。根据字符串，对于相同的访问，能选择使用、和许多用户定义的积分方法，并返回与相同的变量3。三、数值算例（一）算例1：下面用不同的方法来计算该积分：(1) 使用命令。首先创建一个有x值的向量11。用5和1 0两个值进行计算：；然后创建的函数:y5 = exp；y10 = exp；现在计算出积分值：；integral5 =，integral10=返回integral5=0.74298409780038integral10=0.74606686791267 (2) 使用命令。首先在文件中创建函数。此文件integrand.m包含函数，如下： = integraly = exp；首先以标准误差计算积分，然后再以指定误差计算积分。；integralStd =（integral，0，1）integralTol =（integral，0，1，0.00001）给出integralStd = 0.74682612052747integralTol = 0.74682414517798 (3) 使用命令。使用在(2)中创建的文件，然后输入：integral8Std = （integrand，0，1）integral8Std = 0.74682413281243这是所能给出的最精确的结果。（4）使用命令。能很容易地计算出不同区间的积分。= 0：5；= 0 0.5000 2.0000 4.5000 8.0000 12.5000（二）算例2：（5）计算二重积分：首先创建一个包含函数文件integrand2.m： = integrand2=exp：然后用命令计算对于固定的值在方向的一些积分值：；=1：15integral（i） = （integrand2，0，1， ， ，x（i）；现在已计算出在方向的15个积分值。命令能使用这些值来计二重积分：dintegral =（x，integral）dintegral = 0.5575输入下列语句可以得到一个积分区域的图形：=（0：.1：1，0：.1：1）；= integrand2（，）；（X，Y，Z）；（30，30）；结果如图1所示图1 函数在区间0,10,1上的图形Chart1 Functionin interval0,10,1 chart（三）算例3：对于不知道函数具体表达式，只知道，的一些实测数据的函数，可以用数值积分法的梯形公式求定积分。以求瑞士国土面积为例说明其应用。图是瑞士地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东方向为轴，由南向北方向为轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的方向测出南边界点和北边界点的坐标和，这样就得到表1 中的数据(单位mm)。根据地图的比例，18 mm 相当于40 km，由测量数据根据下列程序计算瑞士国土的近似面积：图2瑞士地图Chart2 Switzerland map表1 瑞士地图测量数据Tab.1 Switzerland map survey data710.51317.53440.544.548566168.54445475050383030343634445970729310011011011011711876.580.59196101104106.5111.5118123.5136.5 41454643373328326555541161181181211241211211211221168314214615015715852506666688182868568= 7 10. 5 13 17. 5 34 40. 5 44. 5 48 56 61 68. 5 76. 5 80. 5 91 96 101 104 106. 5 111. 5 118 123. 5 136. 5 142 146 150 157 158 *(40/ 18) ;= 44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68 * (40/18) ;= 44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68 * (40/ 18) ;trapz (,) - trapz (, )运行该程序得结果为42 414。结论：使用命令求积分不仅可对已知解析表达式的函数进行积分，还可以对一些离散点的数据进行积分（近似值），通过输入简单的命令就可得到结果，轻松完成手工计算难以处理的含有大量数据的工作。本文通过对数值积分中常用的积分方法的学习，了解积分在实际应用的的作用，但是其庞大的计算令人生畏。所以我们想采取某些方法使积分的计算变得简单而且快速。而中含有丰富的参考文献1 G.Forsythe, M.Malcolm, and C.Moler, Computer Methods for M