材料力学第四版chap4-第八讲

4-1弯曲的概念和实例4-2受弯构件的简化4-3剪力和弯矩4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系4-6平面曲杆的弯曲内力,4-1弯曲的概念和实例,作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。,一、弯曲的概念,以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。,对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。,非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。,对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。,1、固定端其简化形式如图(a)，这种支座使梁端既不能移动，也不能转动。因此它对梁端有三个约束反力，即水平支反力XA，铅垂支反力YA和支反力偶矩MA。如车床上的割刀及刀架，为固定端支座或简称为固定端。,3、可动铰支座其简化形式如图(c)。这种支座只限制支承处梁的截面沿垂直于支承面的方向移动，故它对梁截面只有一个垂直于支承面的反力YA(铅垂向)。如滚动轴承可简化为可动铰支座。,2、固定铰支座其简化形式如图(b)。这种支座限制支承处梁的截面沿水平方向和铅垂方向的移动，但不限制该截面绕铰中心的转动。故它对梁截面有两个约束反力，即水平支反力XA与铅垂支反力YA。如滑动轴承可简化为固定铰支座,4-2受弯杆件的简化,一、梁支座的简化,a)可动铰支座,b)固定铰支座,c)固定端,二、载荷的简化通常就以梁的轴线表示梁的本身。对作用于梁上载荷，按其作用方式的不同，可简化为下列三种：,1集中载荷当横向载荷在梁上的分布范围远小于梁的长度时，便可简化为作用于一点上的集中力。集中载荷的单位为牛（N），公斤（kg）或吨（t）。,2分布载荷沿梁的全长或部分长度连续分布的横向载荷。分布载荷的大小和方式常以梁单位长度上的载荷值即载荷集度q表示。若q在其分布长度内为常量则为均布载荷，如为变量q(x)则为非均布载荷。分布载荷的常用单位为牛米（Nm），公斤米（kg/m）或吨米（tm）。,3集中力偶作用在梁纵向对称平面内一点处的外力偶。常用单位为牛米（Nm），公斤米(kgm)或吨米（tm）。,(a)集中荷载,(b)分布荷载,三、静定梁的基本形式根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。梁在两支座之间的距离称为跨度。,1、简支梁,一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，这种梁称为简支梁。,2、外伸梁,梁的一端伸出支座之外，称为外伸梁。,3、悬臂梁,一端为固定端另一端为自由端的梁称为悬臂梁。,根据平衡方程可以求得静定梁在载荷作用下的支座反力，于是作用于梁上的外力皆为已知，进一步就可以研究各横截面上的内力。,4-3剪力和弯矩,横截面上的剪力和弯矩同为梁横截面上的内力。,4-3剪力和弯矩,作用于左段的力除了FA外，在截面x-x上还有右段对它的作用力，这些内力和外力投影于y轴，其总和应等于零。这就要求截面上有一个与横截面相切的内力Fs，Fs称为横截面上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。,剪力,把左段所有的外力和内力对截面x-x形心取矩，力矩总和应为零。,剪力,取截面右侧同理：,剪力：平行于横截面的内力符号规定：,弯矩：绕截面转动的内力符号规定：,剪力为正,剪力为负,弯矩为正,弯矩为负,剪力相对于支座而言，如果剪力作用会使杆件顺时针转动，则剪力为正弯矩相对于支座而言，只要会使杆件向下凸，就是正弯矩，如下图：即剪力弯矩均为正.,（1）求反力：,求剪力和弯矩：,（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力FS和弯矩M（为平衡），所取左半部分合力为0，并且左段上所有外力和内力对截面形心O取矩，力矩总和为另0。,(a),(b),（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力FS和弯矩M，在数值上，剪力FS等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y轴）上投影的代数和；弯矩M等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：,同理，取截面右侧部分为研究对象,（4）剪力FS和弯矩M符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力FS和弯矩M，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。,截面左段对右段向上相对错动时（顺时针），截面上的剪力规定为正，反之为负。,在m-m截面处弯曲变形凸向下时，截面m-m上的弯矩规定为正，反之为负。,建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。,例4-3-1如图所示的简支梁，试求11及C左右截面上的内力。,解：1.求支座反力,得,2.求截面11上的内力,同理,对于C左截面：,对于C右截面：,在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。,负号表示假设方向与实际方向相反。,例4-3-2求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,解：1、求支反力,2、计算1-1截面的内力,3、计算2-2截面的内力,例4-3-3试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩,1-1截面,解：根据前面剪力和弯矩求代数和的规则来求剪力和弯矩。,2-2截面：,例4-3-4试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩,2-2截面：,1-1截面：,解：（取右侧）,梁：beam弯曲：bending纯弯曲：purebending弯矩：bendingmoment剪力：shearforce力偶矩：momentofcouple，couplemoment,4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，剪力和弯矩为截面位置坐标x的函数。横截面上剪力、弯矩可表示为：,剪力、弯矩图：根据剪力方程和弯矩方程，可以描出剪力和弯矩随截面位置变化规律的图线称为剪力图和弯矩图。,剪力和弯矩符号：（1）截面左侧向上的外力都在剪力代数和式中取正号，向下的外力都取负号。（左上取正，左下为负）,（2）截面左侧向上的外力对截面形心产生的力矩都在弯矩代数和式中取正号。向下的外力对截面形心所产生的力矩在代数和式中取负号。,（3）截面左侧顺时针转的外力偶矩，在力矩总和式中取正号，反之取负号（顺正、逆负）,（4）截面右侧梁上向下的外力在剪力代数和式中取正号，向上的外力取负号。,（5）截面右侧梁上向上的外力在弯矩代数和式中取正号，向下的外力之力矩取负号。,（6）截面右侧梁上逆时针外力偶矩在弯矩代数和式中取正号，顺取负号。,剪力相对于支座而言，如果剪力作用会使杆件顺时针转动，则剪力为正弯矩相对于支座而言，只要会使杆件向下凸，就是正弯矩，如下图：即剪力弯矩均为正.,例4-4-1作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。,例4-4-2试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。,解：1.求支反力，由,得,2.列剪力、弯矩方程（分段）,在AC段内，,在BC段内，,集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。,在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。,解：1确定约束力,FAyFByql/2,2写出剪力和弯矩方程,例4-4-3简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生改变，弯矩图上为折角点。,在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。,在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。,在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。,4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系,一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系,假设：规定q(x)向上为正，向下为负；,y,1引言（1）分段列方程十分麻烦。（2）q(x)、FS(x)、M(x)之间存在普遍的导数关系。（3）利用“导数关系”直接由载荷判定FS、M图形，绘制FS、M图。（4）检验FS、M图正确与否很方便。,2证明q(x)、FS(x)、M(x)间的关系,证：（1）取坐标系如图，x以向右为正。（2）取微段（微段上不能受集中力与集中力偶，只受分布载荷）。（3）微段上的载荷集度q(x)视为均布，且规定q(x)为正，q(x)为负。（4）截面左侧的内力如图，当x有一增量，截面右侧内力如图。（5）微段两侧横截面上的FS(x)，M(x)均设为正方向，增量为dFS(x)，dM(x)。,（5）讨论微段平衡,略去高阶微量,1微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。,二、讨论微分关系的几何意义,一段梁上的外力情况,剪力图的特征,弯矩图的特征,最大弯矩所在截面的可能位置,q0,向下的均布荷载,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,m,C,上凸的二次抛物线,在FS=0的截面,一般斜直线,或,在C处有突变,F,在C处有尖角,或,在剪力突变的截面,在C处无变化,C,在C处有突变,m,在紧靠C的某一侧截面,向右下倾斜的直线,水平直线,2各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：,3其它规律：|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。,4作Fs、M图程序一判：判断Fs、M图线形状二算：算出控制截面Fs、M数值（截面法）三连线,例4-5-1外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS、M图。,解：1、求支反力,2、判断各段FS、M图形状：CA和DB段：q=0，FS图为水平线，M图为斜直线。AD段：q0，FS图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。,3、确定各分段点的FS、M值，用相应形状的线条连接。,FAy-0.89kNFFy-1.11kN,例4-5-2作图示梁的FS、M图。,1.330,0.330,1.665,解：1、确定约束力,解：1、确定约束力,例4-5-3作图示梁的FS、M图。,5.利用导数关系绘制Fs、M图或者检验,*4-6平面曲杆的弯曲内力,平面曲杆：轴线为平面内曲线的杆件结构。内力符号和内力图画法约定：（1）轴力：拉伸为正，可画在