2009年全国数学资优生水平测试及解答

2009年全国数学资优生水平测试（时间：2009年5月28日上午9:0010:30）一、填空题（612=72）1、将任意两个一位奇数相乘，请问一共可得到 14 个不同的积。2、最接近39/18+20/9+2/3的自然数是 5 。39/18+20/9+2/3=39/18+40/18+12/18=91/183、将边长为2米的正方体切成边长为5厘米的小正方体。若将全部小正方体以面对面的方式粘在一起构造成一座高塔，请问这座高塔的高度最高为 3200 米。2005=40，404040=64000个，640005100=3200米。4、在一个罐子内有三种不同颜色的珠子，其中2/5 的珠子是红色的、 1/3的珠子是绿色的、其余的12颗珠子是黄色的。请问这个罐子内共有 45 颗珠子。12(1-2/5-1/3)=455、数学老师把数学活动小组的学生分成每4人一组，则余2人；分成第5人一组，则余1人。如果数学活动小组中有15个女生，而女生人数比男生多，那么数学活动小组的男生人数是 11 个。解：除以4余数为2，除以5余数为1满足条件的数是6、26、46、66.仅有总数是26时，满足15个女生人数比男生多，所以男生人数为26-15=11人。6、当你开车到了2/3路程时，你的油箱已由原来的满箱到只有1/4箱油。问只用这些剩下的油你能将车开到距终点 1/9 。2/3的路耗油1-1/4=3/4，所以油用完可以开到2/33/4=8/9，即距终点1-8/9=1/9处。7、如图，在大房间一面墙壁上，边长为l5cm的正六边形A(如图)横排20片和以其一部分所形成的梯形B，三角形C、D、E，菱形F等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起。已知墙壁高3.3m，请你仔细观察各层瓷砖的排列特点，计算其中菱形F瓷砖需使用 200 片。3.3M=330厘米。33030=11排，11-1=10排菱形，每排共有菱形20个，所以共需要菱形F片数为1020=200片。8、有一个二位数ab与它的逆序数ba都是质数。例如，13与31都是质数，请问满足上述条件的ab与ba之和的可能最大值是 176 。97+79=1769、如图，第二个图形是由第一个三角形连结三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连结三边中点而得到的，依此类推。分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形中的三角形个数。如果第n个图形中的三角形个数为8029时，n= 2008 。1+4(N-1)=8029，N=200810、小亮从A点出发，沿直线前进10米后再左转30，再沿直线前进l0米，又向左转30，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了 120 米。转一周有360度，所以36030=12次转回到原地。11、有一些各位数字互不相同且都不为零的五位数是4的倍数。去掉其个位数，余下的四位数是5的倍数；再去掉其个位数，余下的三位数是6的倍数；再去掉其个位数，余下的两位数是7的倍数。这样的五位数有 9 个。枚举：49852、84652、91852、98452。49256、49856、91256、91856、9845612、已知A+AB+ABC+ABCD=4321，那么A、B、C、D之和是 21 。3+38+389+3891=4321答：21。二、填空题（96=54）13、计算：= 13/8 。14、编号分别为110的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是 4/5 。取两个共有10*9/2=45种取法，其中相邻的有：12、34、56、78、910、23、45、67、89共9种。1-945=4/515、网络公司聘请一位软件设计师为公司工作半个月（15天），公司用一根金链条作为设计师的报酬，当然这根金链条有15节组成（如图）：设计师每天的酬金相当于其中的一节。现在的要求是：网络公司必须将这根金链切割三次（也就是分成四段），在设计师每天的工作干完后交给他一份，结清当天的报酬不准拖欠。那么切割三次后，金链被分成了四段，这四段金链上的节数分别为 1 、 2 、 4 、 8 。此题有问题：只需要打开第3节和第7节就可以满足不拖欠的要求。此题应当作如下适当修改：网络公司聘请一位软件设计师为公司工作半个月（15天），公司用一根金链条作为设计师的报酬，当然这根金链条有15节组成（如图）：设计师每天的酬金相当于其中的一节。现在的要求是：网络公司必须将这根金链切割几次，在设计师每天的工作干完后交给他一份，结清当天的报酬不准拖欠。你认为应该被切割开的节数编号为：_第3节和第7节_。16、分数a/b在印刷制版中记为a/b，符号“/”是19世纪英国数学家德摩根在1845年提出的。德摩根是一个生性乐观，热爱生活，嗜好猜谜的人，享年65岁，每当有人问他年龄或出生时，他常风趣地答道：“我在x2年是x岁！”由此判断，他出生在 1806 年。4343=1849，1849-43=1806。17、甲乙两地相距10千米。一辆公共汽车从甲地开往乙地，同时小明也骑车沿同一路线，从甲地前往乙地。公共汽车每500米设一站，每站停1分钟。如果公共汽车的速度是每小时25千米，小明骑车的速度是每小时15千米，那么在途中，小明和这辆公共汽车有 8 次同时到达同一地点。图解：到2500后公车就掉到小明后面再也追不上小明了。18、如图1所示，用不同根数的火柴可以按照电子计算器的显示方式摆出自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。例如，用8根火柴可以摆出自然数177（如图2）。那么，用尽8根火柴去摆，你能摆成 19 个不同的自然数。解：数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0分别要用火柴根数为2、5、5、4、5、6、3、7、6、6根。其中用尽8根火柴可以有如下用法：2+6=5+3=4+4=2+3+3=2+2+4=2+2+2+2。2+6可以组成16、61、19、91、10共五个，5+3可以组成27、72、37、73、57、75共6个。4+4有44一个，2+3+3有177、717、771三个，2+2+4有114、141、411三个，2+2+2+2有1111一个，所以能摆出：5+6+1+3+3+1=19个三、解答题（122=24）19、从1，2，3，100中任选若干个数，使所选的若干个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等)，试问你最少选出多少个数就可以满足条件？构造如下菲波那契数列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89共10个数为抽屉，如果再取任何一个数，即可满足要求。答：k最小值应为10+1=11。20、右图由三个边长为1的正方形组成，中间的正方形的两个顶点分别是另外两个正方形的中心那么阴影部分的面积