2013江苏高考数学含答案

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位分。请把答案填写在答题卡相印位 置上。置上。 1函数) 4 2sin(3 xy的最小正周期为 【答案】 【解析】T| 2 2 2 2设 2 )2(iz（i为虚数单位），则复数z的模为 【答案】5 【解析】z34i，i21，| z |5 32+ 42 3双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线的方程为 【答案】xy 4 3 【解析】令：0 916 22 yx ，得x x y 4 3 16 9 2 4集合1 , 0 , 1共有个子集 【答案】8 【解析】238 5右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 【答案】3 【解析】n1，a2，a4，n2；a10，n3；a28，n4 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：90 5 9288919089 x 方差为：2 5 )9092()9088()9091()9090()9089( 22222 2 S 7现在某类病毒记作 nmY X，其中正整数m，n（7m，9n）可以任意选取，则 nm， 都取到奇数的概率为 【答案】 63 20 【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种 情况，则nm，都取到奇数的概率为 63 20 97 54 8如图，在三棱柱ABCCBA 111 中，FED，分别是 1 AAACAB，的中点，设三 棱锥ADEF 的体积为 1 V，三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V，则 21:V V 【答案】1：24 【解析】三棱锥ADEF 与三棱锥ABCA 1 的相似比 为 1：2，故体积之比为 1：8 又因三棱锥ABCA 1 与三棱柱ABCCBA 111 的体积之 比为 1：3所以，三棱锥ADEF 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1：24 9抛物线 2 xy 在1x处的切线与两坐标轴围成三角形 区域为D(包含三角形内部和边界) 若点),(yxP是区域D内的任意一点，则 yx2的取值范围是 【答案】2， 1 2 【解析】抛物线 2 xy 在1x处的切线易得为 y2x1，令 zyx2，y x 1 2 z 2 画出可行域如下，易得过点(0，1)时，zmin2，过点( ，0)时，zmax 1 2 1 2 10设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD 2 1 ，BCBE 3 2 ， 若ACABDE 21 （ 21 ，为实数），则 21 的值为 【答案】 1 2 y x O y2x1 y x 1 1 2 2 A B C 1 A D E F 1 B 1 C y x l B F O c b a 【解析】)( 3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB 21 3 2 6 1 所以， 6 1 1 ， 3 2 2 ， 21 1 2 11已知)(xf是定义在R上的奇函数。当0x时，xxxf4)( 2 ，则不等式 xxf)( 的解集用区间表示为 【答案】(5，0)(5，) 【解析】做出xxxf4)( 2 (0x)的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇 函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x0 的图像。不等式xxf)(，表示函数 y )(xf的图像在 yx 的上方，观察图像易得：解集为(5，0)(5，)。 12在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，右焦点 为 F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为 1 d，F到l的距 离为 2 d，若 12 6dd ，则椭圆C的离心率为 【答案】 3 3 【解析】如图，l：x c a 2 ， 2 d c a 2 c c b2 ，由等面积得： 1 d a bc 。若 12 6dd ， x y yx yx24 x P(5,5) Q(5, 5) 则 c b2 6 a bc ，整理得：066 22 baba，两边同除以： 2 a，得： 066 2 a b a b ，解之得： a b 3 6 ，所以，离心率为： 3 3 1e 2 a b 13在平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数 x y 1 （0x）图象上一动点， 若点AP，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 【答案】1 或10 【解析】 14在正项等比数列 n a中， 2 1 5 a，3 76 aa，则满足 nn aaaaaa 2121 的 最大正整数n的值为 【答案】12 【解析】设正项等比数列 n a首项为 a1，公比为 q，则： 3)1 ( 2 1 51 41 qqa qa ，得：a1 ，q2，an26n记 5 21 2 12 n nn aaaT， 2 )1( 21 2 nn nn aaa 1 32 nn T，则 2 )1( 5 2 2 12 nn n ，化简得： 5 2 11 2 1 2 212 nn n ，当5 2 11 2 1 2 nnn时， 12 2 12113 n当 n12 时， 1212 T，当 n13 时， 1313 T，故 nmax12 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 已知)sin,(cos)sin,(cosba，0 （1）若2|ba，求证：ba ； （2）设) 1 , 0(c，若cba，求,的值 解：解：（1）ab(coscos，sinsin)， |ab|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)2， 所以，coscossinsin0， 所以，ba （2） 1sinsin 0coscos ，22得：cos() 1 2 所以， 3 2 ， 3 2 ， 带入得：sin( 3 2 )sin 2 3 cos sinsin( 3 )1， 1 2 所以， 3 2 所以， 6 5 ， 6 16（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥ABCS 中，平面SAB平面SBC，BCAB ，ABAS ，过 A作SBAF ，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点求证： （1）平面/EFG平面ABC； （2）SABC 证：证：（1）因为 SAAB 且 AFSB， 所以 F 为 SB 的中点 又 E，G 分别为 SA，SC 的中点， 所以，EFAB，EGAC 又 ABACA，AB面 SBC，AC面 ABC， 所以，平面/EFG平面ABC （2）因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC， AF平面 ASB，AFSB 所以，AF平面 SBC 又 BC平面 SBC， 所以，AFBC 又 ABBC，AFABA， 所以，BC平面 SAB 又 SA平面 SAB， 所以，SABC 17（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3 , 0(A，直线42:xyl 设圆C的半径为1，圆心在l上 （1）若圆心C也在直线1 xy上，过点A作圆C的切线， A B C S G F E x y A l O 求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐 标a的取值范围 解：解：（1）联立： 42 1 xy xy ，得圆心为：C(3，2) 设切线为：3 kxy， d1 1 |233| 2 r k k ，得： 4 3 0kork 故所求切线为：3 4 3 0xyory （2）设点 M(x，y)，由MOMA2，知： 2222 2)3(yxyx， 化简得：4) 1( 22 yx， 即：点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D 又因为点M在圆C上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 故：1|CD|3，其中 22 ) 32(aaCD 解之得：0a 12 5 18（本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行 到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙 两 位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为min/50m在甲出发min2后，乙 从 A乘缆车到B，在B处停留min1后，再从匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的 速度为min/130m，山路AC长为m1260，经测量， 13 12 cosA， 5 3 cosC （1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：解：（1）如图作 BDCA 于点 D， 设 BD20k，则 DC25k，AD48k， AB52k，由 AC63k1260m， 知：AB52k1040m （2）设乙出发 x 分钟后到达点 M， 此时甲到达 N 点，如图所示 则：AM130 x，AN50(x2)， 由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000， C B A D M N 其中 0x8，当 x(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 （3）由（1）知：BC500m，甲到 C 用时：(min) 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小，且为：500m/min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大，且为：500m/min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在，范围内 1250 43 625 14 19（本小题满分 16 分） 设 n a是首项为a，公差为d的等差数列)0(d， n S是其前n项和记 cn nS b n n 2 ， * Nn，其中c为实数 （1）若0c，且 421 bbb，成等比数列，证明： knk SnS 2 （ * ,Nnk）； （2）若 n b是等差数列，证明：0c 证：（1）若0c，则dnaan) 1( ， 2 2) 1(adnn Sn ， 2 2) 1(adn bn 当 421 bbb，成等比数列， 41 2 2 bbb ， 即： 2 3 2 2 d aa d a，得：add2 2 ，又0d，故ad2 由此：anSn 2 ，aknankSnk 222 )(，aknSn k 222 故： knk SnS 2 （ * ,Nnk） （2） cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2) 1( ， cn adn c adn c adn n 2 2 2 2) 1( 2 2) 1( 2 2) 1( cn adn c adn 2 2 2) 1( 2 2) 1( () 若 n b是等差数列，则BnAnbn型 观察()式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：0 2 2) 1( 2 cn adn c ，即0 2 2) 1( adn c，而 2 2) 1(adn 0， 故0c 经检验，当0c时 n b是等差数列 20（本小题满分 16 分） 设函数axxxf ln)(，axexg x )(，其中a为实数 （1）若)(xf在), 1 ( 上是单调减函数，且)(xg在), 1 ( 上有最小值，求a的取值范 围； （2）若)(xg在), 1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论 解：解：（1）a x xf 1 )(0 在), 1 ( 上恒成立，则a x 1 ，)1 (，x 故：a1 axg x e)(， 若 1ae，则axg x e)(0 在), 1 ( 上恒成立， 此时，axexg x )(在), 1 ( 上是单调增函数，无最小值，不合； 若ae，则axexg x )(在)ln1 (a，上是单调减函数，在)(ln，a上是单 调增函数，)ln()( min agxg，满足 故a的取值范围为：ae （2）axg x e)(0 在), 1(上恒成立，则aex， 故：a 1 e )0( 11 )( x x ax a x xf ()若 0a ，令)(x f 0 得增区间为(0， )； 1 e 1 a 令)(x f 0 得减区间为( ，) 1 a 当 x0 时，f