建筑力学-第三章(全)剖析

,建筑力学,第三章平面一般力系,3.1概述,平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点,又不相互平行的力系叫平面任意力系。,对于平面一般力系，讨论两个问题：1、力系的合成；2、力系的平衡。,建筑力学,3.2力对点之矩合力矩定理,力对点之矩,力矩：力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之,矩。例如扳手旋转螺母。,力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积。,记为:Mo（F）Fd,建筑力学,力F对O点之矩也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即:Mo（F）2ABO面积在国际单位制中，力矩的单位是Nm或kNm。由上述分析可得力矩的性质：（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。,建筑力学,合力矩定理,定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分,力对同一点之矩的代数和。即：,利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，如左图所示。即：,建筑力学,3.3力偶及其特性,力偶,力偶：在力学中把两个大小相等、方向相等，作用线平行但,不共线的两个力称为力偶，用符号(F,F)表示。,例如：,力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离。,力偶的作用面：两个力作用线所决定的平面。,建筑力学,力偶矩,力偶矩：力偶对物体转动效应的量度。用M或M(F,F)表示。,在平面问题中，力偶等于的力F的大小和力偶臂d的乘积，如下图所示。即：,M(F)Fd=2ABC面积,建筑力学,力偶的性质,力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：（1）力偶没有合力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。（2）力偶在任一轴上的投影等于零。（3）力偶对其作在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。,平面力偶的等效条件:在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。,建筑力学,根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：推论1力偶的可移性：力偶可在其作用面内任意移动和转,动，而不会改变它对物体的作用效果。,推论2力偶的可改装性：在保持力偶矩不变的条件下，可以,任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效果。,力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。故在平面问题中弧线箭头来表示，箭头表示力偶的转向，如左图所示，M表示力偶矩的大小。,M=Fd,建筑力学,平面力偶系的合成与平衡条件,平面力偶系的合成,平面力偶系：在物体的同一平面内作用着两个或两个以上的力偶。,MF1d1，M2F2d2，M3F3d3，P1d=F1d1，P2dF2d2，P3dF3d3FRP1P2P3，FRP1+P2P3MFRd（P1P2P3）dF1d1+F2d2F3d3,可得：,建筑力学,综上所述，若作用在同一平面内有个力偶，由上式可得：,MM1M2MnMi,由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。,MM1M2M3,因此：,建筑力学,平面力偶系的平衡条件,平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。,Mi0,由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件为：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。,通过这个平衡方程，可以求解未知量。,即：,建筑力学,例,如图，梁AB受一力偶的作用，此力偶之矩M=20kNm，梁的跨度l=5m，倾角=30，试求A、B处的支座反力（梁重不计）。,解：取梁AB为研究对象，梁在力矩偶M和A、B两处支座反力FA、FB的作用下处于平衡。因为力偶只能由力偶平衡，可知FA与FB应等值、反向、平行而构成力偶。又FB必垂直于支座B的支承面。由力偶系的平衡方程可得：,从而有：,故：,(b),解：,图(a)：MA=-82=-16kNmMB=82=16kNm,图(b)：MA=-421=-8kNmMB=421=8kNm,(a),建筑力学,例,求图中荷载对A、B两点之矩.,建筑力学,例,如图，已知F=20kN，求力F对点A之矩。,解：取杆AB为研究对象，将力F沿x轴方向和y轴方向分解为两个分力，由合力矩定理可得：,由于dx=0，所以：,建筑力学,例,如图，已知AB=AC=30cm，CD=15cm，F=100N，=30，求力F对A、B、C三点之矩。,解：取杆AD为研究对象，将力F沿x轴方向和y轴方向分解为两个分力，由定义可得：,y,x,由合力矩定理可得：,建筑力学,3.4平面一般力系向作用面内一点简化,力的平移定理,力的平移定理：作用于物体上的力可以平行移动到物体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。,建筑力学,平面一般力系向作用面内一点简化,平面汇交力系的合成：,平面力偶系的合成：,可得：,建筑力学,平面一般力系向其作用平面内任一点简化得到一个力和一力偶。,简化的力称为原力系的主矢量，它作用于简化中心，且等于原力系中各力的矢量和；简化的力偶之矩称为原力系的主矩，它作用于原力系的平面内，并等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。,平面一般力系力+力偶,向一点简化,(1)当FR=0，Mo0时，原力系向点O简化后得到合力偶Mo;,(2)当FR0，Mo=0时，原力系向点O简化后得到力FR;,(3)当FR=0，Mo=0时，原力系是平衡力系。,几种特殊情况：,建筑力学,3.5平面一般力系平衡条件和平衡方程,众所周知，当主矢时，为力平衡；当主矩时，为力偶平衡。,故平面任意力系平衡的充要条件为：,力系的主矢和主矩都等于零。,上述平衡条件可表示为,建筑力学,平衡方程基本形式,二矩式平衡方程,其中：所选的x轴不能与A、B两点连线垂直,三矩式平衡方程,其中：A、B、C三点不在同一直线上,这样，平面一般力系的平衡方程可以有三种不同形式，每种形式都是由三个独立的平衡方程组成，因而可以求解三种三个未知量。,运用平面一般力系平衡方程求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。实际计算时，规定力偶矩的方向为：逆时针为正，顺时针为负。,建筑力学,建筑力学,例,如图，图为一悬梁臂AB。其上面作用有均布载荷q，集中载荷F和一力偶，其力偶矩为M，梁长l。试求固定端A处的约束反力。,解：取悬梁臂AB为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系x-y，列平衡方程为：,所以得：,（二）力系的平衡,示例：图示三角支架。求A、C处的支反力。,C,A,B,30cm,30cm,600,Q1=12kN,Q2=7kN,A,B,Q1=12kN,Q2=7kN,S,XA,YA,300,基本方法,二力矩方程：去掉Y=0方程,三力矩方程：再去掉X=0方程,（二）力系的平衡,示例：斜梁。求支座反力,2kN/m,A,B,2m,300,2kN/m,B,A,RB,YA,XA,C,D,300,300,例,如图，一水平托架承受重P=20kN的重物，A、B、C各处均为铰链连接，各干自重不计，试求托架A、B两处的约束反力。,P,解：取托架水平杆AD作为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系x-y，列平衡方程为：,所以得：,例,如图，图为一钢架，已知q=4kN/m，P=10kN，M=2kNm，W=20kN，试求支座A、B的约束反力。,解：取钢架作为研究对象，其受力图如图所示。取直角坐标系x-y，列平衡方程为：,所以得：,建筑力学,3.6平面平行力系的平衡方程,平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。,设F1、F2、F3、F4为四个平行于y轴的平行力系，则各力在x轴上的投影均为零，故平面平行力系的平衡方程为：,同理可得，平面平行力系的平衡方程的二矩式平衡方程：,（二）力系的平衡,平面平行力系,x,O,y,可以解出二个未知力,示例：外伸梁。求支座反力,2kN/m,4kN,4m,4m,4m,RA,RB,mA=0,RB8-242-6-412=0RB=8.75kN,Y=0,RA+RB-24-4=0RA=3.25kN,6kNm,B,A,例,塔式起重机如下图所示，机身所受的重力为W1，其作用线距右轨B为e，载重的重力W2距右轨的最大距离为l，轨距AB=b，又平衡物的重力W3距左轨A为a。求起重机满载和空载均不至翻到时，平衡物的重量W3应满足的条件。,解：起重机不翻到时其所受的主动力W1、W2、W3和约束反力FA、FB组成一平面平行力系。有平衡方程得：,满载时载重W2距右轨最远，这时起重机若翻到则必绕点B往右翻到，因而FA不存在。故不翻到的条件是：,其中等号对应于起重机处于不翻到的临界状态。由以上两式可得满载且平衡时W3应满足的条件为：,空载时W2=0，由平衡方程得：,这时起重机若翻到则必绕点A往左翻到，因而FB不存在。故不翻到的条件是：,于是空载且平衡时W3应满足的条件为：,由此可见，起重机满载和空载均不致翻到时，平衡物的重量W3应满足的条件为：,建筑力学,3.7物体系统的平衡静定和超静定问题的概念,物体系统：由若干个物体通过约束所组成的系统，简称物系。,物系平衡的特点：物系静止；物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）,（三）物体系的平衡,求解方法应由物体系的组成情况决定。,1）有主次之分的结构主要部分：不需要依赖其他部分可以维持其平衡次要部分：需要依赖其他部分才能维持其平衡。求解时，先从次要部分开始。,2、解法,示例：多跨静定梁,D,A,B,C,a,2a,a,0.5qa,q,平面平行力系：一个物体可以列出2个独立的平衡方程，由n个物体组成的物体系可以列出2n个独立的平衡方程，解出2n个未知力。,以BCD为研究对象,D,B,C,qa,RC,RB,A,B,RB,RA,MA,以AB为研究对象,（三）物体系的平衡,示例：图示多跨静定梁。求A、B、C处的反力。1、以DC为研究对象,12kNm,8kNm,2kN/m,2m,2m,1m,A,B,D,C,12kNm,RD,RC,2、以ABD为研究对象,2kN/m,8kNm,RD,RA,RB,2kNm,（三）物体系的平衡,示例：三铰刚架。q=2kN/m,l=2m,l,l,C,A,B,q,l,2）三铰架,以整体为研究对象,XA,YA,XB,YB,B,C,XB,YB,XC,YC,以CB为研究对象,以整体为研究对象,注意：选取研究对象前，先做组成分析所选取的研究对象，要确保能求出全部或部分未知力尽量避免未知力联立不需求的未知力尽量避开,（三）物体系的平衡,A,B,C,D,3）拉力拱示例：求图示结构CD杆的受力。,RA,RB,1、以整体为研究对象,2、以EBD为研究对象,D,RB,E,XE,YE,SCD,E,（三）物体系的平衡,示例：图示刚架，不计自重。,15m,10m,10m,15m,10kN/m,100kN,150kNm,E,A,B,C,D,求A、B、C、D和E处的约束反力,XA,YA,RB,以整体为研究对象,以DE为研究对象,思考：列方程,150kNm,E,D,YE,XD,YD,XE,思考：列方程,（三）物体系的平衡,10kN/m,E,B,C,178.33kN,5kN,XE,YC,XC,以BEC为研究对象,思考：列方程,建筑力学,例,如图，图为铅垂面的人字梯ACB。置于光滑水平面上，且处于平衡状态，已知F=60kN，l=3m，=45。试求铰链C的约束力。,解：（1）取整体为研究对象，其受力图如图所示，列平衡方程可得：,建筑力学,（2）取杆CB为研究对象，画受力分析图，列平衡方程可得：,可得:,可得：,例,如图，图为钢筋混凝土三铰钢架。已知q=16kN/m，P=24kN，求支座A、B、C处的约束反力。,解：（1）取整体为研究对象，其受力图如图所示，列平衡方程