电路分析基础难点一阶动态电路分析.ppt

学习目标,理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于电路分析。深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算方法。弄懂动态电路方程的建立及解法。熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。,3.1电容元件和电感元件,3.1.1电容元件电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。,斜率为R,图3-1电容的符号、线性非时变电容的特性曲线,当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t)C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有：i=Cdq/dt非关联时：i=-Cdq/dt,电容的伏安还可写成：,式中，u(0)是在t=0时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在t=0以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。由此可知：在某一时刻t，电容电压u不仅与该时刻的电流i有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。,当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：,瞬时功率可正可负，当p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当p(t)0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当p(t)0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。,图3-7RL电路的零输入响应,由图(b)，根据KVL有uL+uR=0,将,代入上式得,1式,iL=Aeptt0,上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为,2式,将2式代入1式，得特征方程为LP+R=0,故特征根为,则通解为,若令，是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为,t0,t0,3式,将初始条件iL(0+)=iL(0-)=I0代入3式，求出积分常数A为iL(0+)=A=I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为,t0,4式,电阻及电感的电压分别是,t0,t0,分别作出iL、uR和、uL的波形如图3-8(a)、(b)所示。由图3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、uR(0+)=RI0、uL(0+)=-RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶RC零输入电路情况相同。,图3-8RL电路零输入响应iL、uR和uL的波形,从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f(t)表示零输入响应，用f(0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为,t0,应该注意的是:RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者=RC，后者=L/R。,例3：如图3-9(a)所示电路，t=0-时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t0时的电压uc、uR和电流ic。解由于在t=0-时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。,图3-9例3图,所以,由换路定律，得,作出t=0+等效电路如图(b)所示，,电容用4V电压源代替，由图(b)可知,换路后从电容两端看进去的等效电阻如图(C)所示，为：,时间常数为,A,V,t0,t0,也可以由,求出iC=-0.8e-tAt0,V,t0,计算零输入响应，得,3.4零状态响应,在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。3.4.1RC电路的零状态响应图3-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US接通，试确定k闭合后电路中的响应。,图3-10(a)RC电路的零状态响应,在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)=uc(0-)=0，t=0+时电容相当于短路，uR(0+)=US，故电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，,uR则逐渐降低，iR（等于ic）逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流ic()=0，uR()=0，uc=()=Us。由kVLuR+uc=US,而uR=RiR=RiC=，代入上式可得到以uc为变量的微分方程t0初始条件为uC(0+)=0,1式,1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即uc=uch+ucp,将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故,由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同,因此其通解应为,式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得,1式的解（完全解）为,ucp=k=US,由于稳态值uc()=US，故上式可写成t02式由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当t=时，uc()=US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=()=US的63.2%所需的时间是。而当t=45时，uc上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为,t0,t0,t0,根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如3-10(b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。,图3-10(b)、(C)RC电路零状态响应uc、ic、iR及uR波形图,3.4.2RL电路的零状态响应,图3-11(a)一阶RL电路的零状态响应,对于图3-11(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有iL(0+)=iL(0-)=0,选择iL为首先求解的变量，由KVL有：,uL+uR=US,将,uR=RiL,代入上式，可得初始条件为iL(0+)=0,1式,1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即iL=iLh+iLp其齐次方程的通解也应为,式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解iLP为常量，令iLP=K，代入1式得,因此完全解为,代入t=0时的初始条件iL(0+)=0得,于是由于iL的稳态值，故上式可写成：t0电路中的其他响应分别为t0,它们的波形如图3-11(b)、(c)所示。,t0,t0,图3-11(b)(C)一阶RL电路的零状态响应波形图,其物理过程是，S闭合后，iL(即iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值uL(0+)=US逐渐下降，而uR从uR(0+)=0逐渐上升，当t=，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL()=USR，uL()=0，uR()=US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。,3.4.3单位阶跃响应单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：,(t)=,0t0-,1t0+,(t)的波形如图3-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。,图3-12单位阶跃函数,单位阶跃函数可以用来描述图3-12(b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时u(t)的值，即：u(t)=(t)V如果在t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到t=t0，其波形如图3-13所示，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为,(t-t0)=,0tt0-,1tt0+,图3-13延迟的单位阶跃函数,当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图3-10所示电路的单位阶跃响应，只要令US=(t)就能得到，例如电容电压为,若图3-10的激励uS=K(t)（K为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应,如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻t0时加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，即延迟时间t0就行了。例如这种情况下的uC为,扩大K倍，对于电容有,例4：求图3-14(a)电路的阶跃响应uC。,解先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简，得图3-14(b)所示电路。由图(a)可得,图3-14例4图,3u1+u1=0u1=0,则,于是,式中=R0C=210-6S,将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b）,3.5全响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。如图3-15所示，设uC=uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。,图3-15RC电路的全响应,对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为,1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即,代入初始条件uC(0+)=U0得K=U0-US,1式,从而得到,通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US=uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有全响应=暂态响应+稳态响应,2式,2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：,3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即全响应=零输入响应+零状态响应,3式,3.6求解一阶电路三要素法,如用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示该电压或电流的初始值，f()表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：,上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。式中f(0+)、f()和称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。,用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：,一、确定初始值f(0+)初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。作t=0+电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，,图3-16电容、电感元件在t=0时的电路模型,L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。可用图3-16说明。作t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)。,二、确定稳态值f()作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、i()。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。,例5图3-17(a)所示电路中，t=0时将S合上，求t0时的i1、iL、uL。,图3-17例5图,解(1)先求iL(0-)。作t=0-电路，见图(b)，电感用短路线代替，则,(2)求f(0+)。作t=0+电路，见图(C),图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-)一致。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有3i1(0+)+6i1(0+)-iL(0+)=12,得,图(C)右边回路中有,(3)求f()。作t=电路如图(d)，电感用短路线代替，则,uL()=0,(4)求。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻