自主招生第1讲-集合.doc

精品文档第1讲 集合 “交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若，则； 若，则；III; III.容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以表示有限集合中元素的个数，参照Venn图可以得到如下计数公式: 例题精讲例1. 已知数集，。若，求实数的值。分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合中三个元素有且仅有一个为1。椐此可求出，进而求出。解 由，得。 由集合中三个元素有且仅有一个为1，得，。由，得。因此，所求实数为或。例2. 集合 的关系是 （ ）分析1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。解1 ，而可取任意整数，得集合表示4的倍数的集合，即，设，得。所以，应选。分析2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若，则”；证明集合相等关系的一般方法是“若 则”。解2. 若。设，则。若。设，则。由。所以应选。例3. 不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有多少个？分析 若不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为。则要求的是|I|。解 设不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为，则。因此，。所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有 |I|（个）。 例4. 设，是平面内的点集，讨论是否存在 使得（1）；（2）同时成立。（1986年全国高考题）分析 首先应对题中的集合语言进行解读。，意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组有整数解；，则给出了的允许值范围。解 集合可分别化简为，。，仅当且时，方程组有解。此时，原方程组的解为 由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数不存在。 例5. 一次会议有2005位数学家参加，每人至少有1337位合作者，求证：可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过。分析 按题意，可以构造一种选法，找出符合条件的四位数学家。解 由题意，可任选两位合作过的数学家，设与合作过的数学家的集合为，与合作过的数学家的集合为。则，。又。于是，。因此，在集合中，有数学家且不是。从中选出数学家，并设与合作过的数学家的集合为。则，。于是， 因此，在集合中，有数学家且不是。又可从中选出数学家。则数学家，他们中每两人都合作过。即原命题得证。子集例6. 求满足的集合的个数。 分析 本题要求的是集合中，必定含有元素的子集的个数，只要求出集合的子集数。解 由集合的子集数为，得所求集合的个数为8。例7.已知集合，对，定义为中所有元素之和。求全体的总和。分析 要求出全体的总和，只要求出每个元素出现的次数。解 由集合元素的互异性，得集合中某个元素在总合中出现的次数，就是集合中含有该元素的子集数。所以，全体的总和。例8.在某次竞选中，各个政党共作出种不同的诺言，任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于个。 （1972年加拿大数学竞赛）分析 这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意，将“诺言”作为元素，运用集合进行分析和研究。证明 将种不同的诺言构成集合，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合的子集。因而政党数应不大于集合的子集数。又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对互补的子集。故政党数。例9.证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序，使得任何两个相邻的子集仅相差一个元素。 分析 本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法，满足题设的要求。为此，可从特殊情况入手进行探索。若有限集元素的个数 时，子集数为2，可排列为；当时，子集数为22，可排列为；当时，子集数为23，可排列为每增加1个元素，子集数增加1倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素，得到又一列排列好的子集。再将排列好的子集倒序后，接排在原来已排好的子集列后面，得到符合条件的新的子集列。证明 设有限集的元素个数为。当时，子集数为2，全部子集可排列为:；当时，子集数为22，全部子集可排列为:；当时，子集数为23，全部子集可排列为: 若时，子集数为2k，全部子集可排列为:,且任何两个相邻的子集仅相差一个元素。当 即增加一个元素 时，按下面的方法可得由个元素组成的有限集的全部子集的一个排列，。因为共2k个子集中任何两个相邻的子集仅相差一个元素，所以，共2k个子集中任何两个相邻的子集也仅相差一个元素。又与也相差一个元素，因此，上述由个元素组成的有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列。由此，我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法，即原命题得证。例10.对及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”：对每一个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替的减或加后继的数（例如，的“交替和”是的“交替和”是5）。对，求所有这些“交替和”的总和。 分析 求所有这些“交替和”的总和的关键，在于每一个数字在“交替和”中出现的次数及符号。解 对集合的全部子集分为两类：含元素的子集共有个，不含元素的子集也有个。将含元素的子集与不含元素的子集相对应，得这两个子集的“交替和”恒为。所以，所有这些“交替和”的总和为。当时，“交替和”的总和为。例11.已知集合中有10个元素，每个元素都是两位数。求证：一定可以从中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素和相等。分析 本题要求的是从集合的子集中，找到两个元素和相等的子集。这两个子集即使有公共元素，只要同时除去公共元素就可以满足题意。证明 由集合中每个元素都是两位数，故它们的总和不超过1000。而集合共有个子集。由抽屉原理，得集合的子集中至少有两个子集的和相等。若这两个子集有公共元素，只要同时从这两个子集中同时除去公共元素，得到两个无公共元素的子集，且使两个子集的元素和相等。即命题得证。课后练习：1若是单元素集合，则实数的值为 （ ） 不存在这样的实数2某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有21人优秀，物理有19人优秀，化学有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有6个，数学和化学都优秀的有8个。若该班有7人数学、物理、化学三科中没有一科优秀，试确定该班总人数的范围及仅数学一科优秀的人数的范围。3.设，。若集合是单元素集，则。4设R,。若A不是B的真子集，则a的取值范围是 ( ) 5已知，又，求实数的取值范围。6 设 ，且，求实数的取值范围。 7 设，求证：（1）一切奇数属于；（2）形如的数不属于；（3）中任意两个数的积仍属于。8 设，则集合中被7除余2且不能被57整除的数的个数为_。（1994年江苏省数学竞赛） 9已知对任意实数，函数都有定义，且，如果集合不是空集，试证明是无限集。（1994年江苏省数学竞赛）1 集合表示不等式组 的解集。当两个不等式的解集有共同的边界点，或者两个不等式的解集中，有一个是单元素集时，不等式组解集有可能为单元素集。由此，不等式可化简为，当时 ，此不等式的解集为单元素集。故应选。 2. 设 该班数学成绩优秀的学生 该班物理成绩优秀的学生该班化学成绩优秀的学生 则 由是的子集，得。因此， 。因此，。所以，该班总人数的范围是 ； 仅数学一科优秀的人数的范围是 。3.若集合是单元素集，设即，则， 4 ， 若A是B的真子集，则 解得。所以，若A不是B的真子集，则。故应选。5.由题意，方程组 无解。由方程组，得 所以实数的取值范围是。6. ，当时，当时，当时，综上，所求实数的取值范围是