2015版人教A版数学必修1课本例题习题改编

2015版人教A版必修1课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 1.原题(必修1第七页练习第三题（3）判断下列两个集合之间的关系：A=改编 已知集合，集合，则（ ）ABC D解：， ，故选D .2.原题（必修1第十二页习题1.1B组第一题）已知集合A=1，2，集合B满足AB=1，2，则这样的集合B有 个.改编1 已知集合A、B满足AB=1，2，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写出来解：AB=1，2，集合A，B可以是：，1，2；1，1，2；1，2；2，1，2；2，1；1，2，1，2；1，2，1；1，2，2；1，2，则满足条件的集合A、B有9对.改编2 已知集合有个元素，则集合的子集个数有 个，真子集个数有 个解：子集个数有个，真子集个数有个改编3 满足条件的所有集合的个数是 个解：3必须在集合里面，的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用表示非空集合中的元素个数，定义,若，且,则由实数的所有可能取值构成的集合= .解：由，而，故由得当时，方程只有实根，这时当时，必有，这时有两个不相等的实根，方程必有两个相等的实根，且异于，有，可验证均满足题意，4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选改编2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的答案：A5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=改编 设函数D(x)= 则下列结论错误的是()AD(x)的值域为0,1 B D(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数解：由已知条件可知,D(x)的值域是0,1,选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C 6.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第十题）改编 已知集合定义映射，则满足点构成且的映射的个数为.解：从A到B的映射有个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且，结合图形可以分析得到满足即可，则满足条件的映射有个7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为，值域为的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图像上？改编 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）ABC D解：根据函数的概念，任意一个只能有唯一的值和它对应，故排除C；由定义域为排除A、D,选B.8.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第三题）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，；当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象改编1 对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则的值为 解：由题意得， ，原式中共有个，个，个，故原式改编2 已知函数f(x)=x-x, 其中x表示不超过实数x的最大整数. 若关于x 的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k的取值范围为. 答案：B改编3 对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么，（1）+= （2）设，则的值域为 解：（1）=0，=1，=2，=3，=4，=9，=10，则原式=，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.（2）；故时的值域为答案：（1）8204； （2）改编4 函数的值域为 .解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；值域为.答案：.9.原题（必修1第三十六页练习第题（）判断下列函数的奇偶性：改编 关于函数，有下列命题：其图象关于轴对称；当时，是增函数；当时，是减函数；的最小值是；在区间上是增函数；无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是 解： 为偶函数，故正确；令，则当时，在上递减，在上递增，错误；正确；错误答案：10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编 已知定义在-2, 2上的偶函数f(x)在区间0, 2上是减函数, 若f(1-m)f(m), 则实数m的取值范围是 .解：由偶函数的定义, , 又由f(x)在区间0, 2上是减函数, 所以.答案：.11.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第四题）已知集合A=x|=1，集合B=x|ax=1，若BA，求实数a的值.改编 已知集合A=x|x-a=0，B=x|ax-1=0，且AB=B，则实数a等于 。解：AB=B ，BA ，A=x|x-a=0=a，对于集合B，当a=0时，B=满足BA；当a0时，B=；要使BA需，解得a=1；答案：1或-1或0.12.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第八题）设，求证：（1）；（2）.改编 设定在R上的函数满足：，则.解：由得 由所求式子特征考查：13.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第四题）已知函数求，的值.改编 已知函数，关于的方程有四个不同的根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.解：当时，与交点个数为2，不成立；当时，图象如下图，与交点个数为4，则，选A.14.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第五题）证明：（1）若，则；（2）若则.改编 函数在上有定义，若对任意，有则称 在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有.证明： 15.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第七题）中华人民共和国个人所得税规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？改编 2011年4月25日，全国人大常委会公布中华人民共和国个人所得税法修正案（草案），向社会公开征集意见草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算级数全月应纳税所得额税率1不超过 1500元的部分5%2超过 1500元至4500元的部分10%3超过 4500元至9000元的部分20%依据草案规定，解答下列问题：（1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？（2）若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由解：（1）李工程师每月纳税：15005%+300010%+50020%=75+400=475（元）；（2）设该纳税人的月工薪为x元，则当x4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%； 当4500x7500时，由15005%+（x-4500）10%8%x，得x18750，不满足条件； 当7500x10000时，由15005%+300010%+（x-7500）20%8%x，解得x9375，故9375x10000 答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%16.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第七题）已知，求证：（1），（2）.改编 给出下列三个等式：.下列选项中，不满足其中任何一个等式的是（ ） ABCD解：依据指数函数，对数函数，三角函数的性质可知，满足，满足，满足，而不满足其中任何一个等式.17.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第八题）已知,求证:（2）.改编 定义在上的函数满足对,都有成立,且当时，给出下列命题:；函数是奇函数；函数只有一个零点；,其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解：令得,正确；令,得，是奇函数，正确；由.又,令,则,即.函数在上为减函数，又,故正确，由知.答案：C18.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第一题）已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 改编 在平面直角坐标系中，集合，且，设集合中的所有点的横坐标之积为，则有（ ）A. B. C. D.解：由图知与图象交于不同的两点，设为，不妨设，则，在R上递减，当时，;当时，选B.19.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第三题）对于函数（a R）（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使f（x）为奇函数？改编1 对于函数f(x)=a+ (xR)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0证明（1）：设，则f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在R上是单调减函数（2）f（x）是奇函数，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数，f（2t+1）+f（t-5）0转化为f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集为：t|t改编2 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0，等价于f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k0，可转化为k3t22t，tR，只要k比3t22t的最小值小即可，而3t22t的最小值为，所以k.20.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第四题）设，求证：（1）；（2）；（3）；改编1 设，给出如下结论：对任意，有；存在实数，使得；不存在实数，使得；对任意，有；其中所有正确结论的序号是解：对于：；对于：，即恒有；对于：，故不存在，使；对于：，故正确的有改编2 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是.解：，得，即，解得，即得，参数分离得，因为（当且仅当，即时取等号，的解满足），所以.改编3 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足：，则 .解：,和分别为R上的奇函数和偶函数,，.21.原题（必修1第八十八页例1）求函数的零点的个数.改编 已知函数,若在区间(2,3)内任意两个实数,不等式恒成立，且在区间（2，3）内有零点，则实数的取值范围为( )解：由题可得在（2，3）递增，故在（2，3）恒成立，,又 在(2,3)内有零点，由零点存在性定理有又.答案：22.原题（必修1第九十页例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0.1）.改编 为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值（精确度0.1）如下表所示1.251.31251.3751.43751.51.56250.87160.57880.28130.21010.328430.64115则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A1.32B1.39C1.4D1.3解：通过上述表格得知函数唯一的零点在区间内,故选C.23.原题（必修1第九十五页例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？解：设促销奖的领奖活动为天，三种方式的领取奖品总价值分别为。则；要使奖品总价值不超过600元，则 解得又 ，故 答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.24.原题（必修1第一百一十二页复习参考习A组第七题）改编1 已知线段的长为,以为直径的圆有一内接梯形，若椭圆以为焦点，且经过点，求椭圆的离心率的范围解：梯形为圆内接梯形，故其为等腰梯形，设，则在中，由椭圆的定义知离心率，其中，所以，故椭圆离心率改编2 已知线段的长为,以为直径的圆有一内接梯形，若椭圆以为焦点，且经过点，那么当梯形的周长最大时，求该椭圆的离心率解：梯形为圆的内接梯形，故其为等腰梯形，设，则在中，则梯形的周长，故当时，周长最大，即最大周长为，此时，由椭圆的定义知，所以此时的椭圆的离心率25.原题（必修1第一百一