第五章-误差理论与数据处理资料.ppt

数字测图原理及方法,PrincipleandMethodsofDigitalMapping,第五章误差理论与数据处理,5.1误差理论5.2误差传播定律及应用5.3权及权倒数传播定律5.4数据处理理论基础,5.1误差理论,前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。例如：1）、距离测量误差2）、角度测量误差3）、高差测量误差,5.1误差理论,理论上：D往=D返实测中：D往D返,1）距离测量误差,测量上一般要求:D往-D返/D0系统误差,二、误差的种类,即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线.,LAB,测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。例如：3）、水准仪I角对测量高差的影响,二、误差的种类,i,A,B,SA,SB,水准管轴,视准轴,b1,b,i,水准仪I角对测量高差的影响-系统误差,SA=SB时，hAB=0,a,a1,总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.,测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。2.偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。例如：1)、距离测量,二、误差的种类,1.7,1.6,1.5,1591中丝读数：15921593,例如:2）、读数误差(水准测量),总结:偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值.,例如:3）、照准误差,例如:4）、整平误差,测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。3.粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。例如：已知点有误，往返高差相差悬殊。,二、误差的种类,通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。,总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。,通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值-超限数为零；有限性2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大-小误差大概率：集中性3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等-正负相等；对称性4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零-平均理论。抵偿性,三、偶然误差的特性,其中,【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。,三角形内角和真误差:A+B+C-180i=1,2,3.217,-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427,(vi/n),(vi/n)/3,每一误差区间上方的长方形面积，代表误差出现在该区间的相对个数,直方图,误差分布曲线,正态分布曲线的特性：,1、是偶函数。这就是偶然误差的第三特性。对称性,2、愈小，愈大。有最大值,当=0时,横轴是曲线的渐近线，这就是偶然误差的第一、二特性,曲线有两个拐点，横坐标为：,当愈小时，曲线愈陡峭，误差分布比较集中,当愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散,参数的大小反映了一组观测值误差分布的密集和离散程度。,称为方差,称为标准差（方根差或均方根差）,四、衡量精度的指标,精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度。,1、标准差和中误差1）标准差,四、衡量精度的指标,2）、中误差:标准差的一个估值。,在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真差不同，但中误差是相同的。,例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观测精度高？,精度相同,四、衡量精度的指标,中误差,四、衡量精度的指标,2、容许误差（限差）,通常取标准差的两倍（或三倍）作为观测值的容许误差。实际中常用中误差代替标准差。即,即大于2倍中误差的真误差，出现的可能性为5%,即大于3倍中误差的真误差，出现的可能性为0.3%,四、衡量精度的指标,精度不相同,3、相对误差,通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。,例:测量两条直线，一条100m，另一条50m，其中误差均为10mm试问两条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度高？,100m的直线的观测精度高,相对中误差，相对真误差和相对极限误差。,5.2误差传播定律及应用,一、误差传播定律,问题的提出：在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？,阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律。,1、倍数的函数,设有函数z=kxz:观测值的函数，x为观测值，k为常数,(1)真误差的关系式为：,若对x观测了n次则：,(2)将上式平方得：,(3)求和，并除以n,(4)转换为中误差关系式,观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数,2、和或差的函数,设有函数z=xyz:观测值的函数，x、y为独立观测值,(1)真误差的关系式为：,若对x、y观测了n次则：,(2)将上式平方得：,(3)求和，并除以n,(4)转换为中误差关系式,两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。,由于x,y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy/n=0,2、和或差的函数,n个观测值代数和的中误差，等于n个观测值中误差的平方和。,n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。,2、和或差的函数,水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根成正比。,水准测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。,3、线性函数,应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得,4、一般函数（非线性函数）,设有函数z=f()为独立观测值,(1)求偏导真误差的关系式为：,(2)转换为中误差关系式：,4、一般函数（非线性函数）,例一：设有函数z=Ssin,解：,注意单位的统一,4、一般函数（非线性函数）,例二：设有函数：Z=X+Y，Y=3X,解：,注：由于X和Y不是独立观测值,总结,应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：,1、列出函数式,2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式,4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式,3、独立性的判断,注意单位的统一,误差传播定的几个主要公式：,设未知量的真值为X，观测值的真误差为,将上式相加,称为算术平均值，是未知量的最或然值,算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍,二、误差传播定律及应用,1、算术平均值及其中误差,二、误差传播定律及应用,1、算术平均值及其中误差,例：对某段距离同精度测量了4次,试求该段距离的最或然值及其中误差,解：,二、误差传播定律及应用,1、算术平均值及其中误差,二、误差传播定律及应用,2、双观测值及其中误差对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。有一组量x1，x2，。Xn，对该量各观测两次，L1，L2，。LnL1，L2，。Lndi=0-（Li-Li”）,二、误差传播定律及应用,2、双观测值及其中误差,5.3权及权倒数传播定律,一广义算术平均值,如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：,一广义算术平均值,在相同条件下对某段长度进行两组丈量：,第一组,第二组,算术平均值分别为,一广义算术平均值,其中误差分别为：,一广义算术平均值,全部同精度观测值的最或然值为：,一广义算术平均值,令,一广义算术平均值,若有不同精度观测值,其权分别为,该量的最或然值可扩充为：,称之为广义算术平均值。,当各观测值精度相同时,二、权,定权的基本公式：,可见，用中误差衡量精度是绝对的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对标准。,二、权,权的特性,1反映了观测值的相互精度关系。,3不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。,二、权,4若,同类量的观测值，此时，权无单位。若,是不同类量的观测值，权是否有单位不能,一概而论，而视具体情况而定。,二、权,例：已知L1,L2,L3,的中误差分别为：,设,设,二、权,1水准路线观测高差的权,例：,常用定权公式,当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。,四条水准路线分别观测了3,4,6,5测站：,二、权,令c=3,令c=4,二、权,水准路线的长分别为,设每公里水准测量观测的中误差为,二、权,当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。,二、权,二、权,当,S=C=10公里的水准路线的观测高差为单位权观测。,每测站观测高差精度相同时：,每公里观测高差精度相同时：,二、权,例对某角作三组同精度观测：第一组测4测回，算术平均值为,第二组测6测回，算术平均值为,第三组测8测回，算术平均值为,2不同个数的同精度观测值求得的算术平均值的权。,二、权,由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。,二、权,令,二、权,水准测量中，当每测站高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与测站成反比,水准测量中，当每公里高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比,总结,二、权,角度测量中，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比,距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各段距离观测值的权与其长度成反比。,二、权,三权倒数传播定律,内容总结,广义算术平均值：,定权的基本公式：,权,权的特点,常用定权公式：,5.4数据处理理论基础,一、数据处理的任务和原则,1、数据处理的任务任何一种测量,其观测结果都会存在误差(主要考虑偶然误差)的影响,由于这种误差的影响,使得对同一量进行多次观测所得的结果都不会相同,也不等于理论数值。测量数据处理的任务：“消除差异”，求出观测量的最或然值（平差值）评定精度,一、数据处理的任务和原则,2、数据处理的原则存在矛盾如何消除，采用什么样的原则消除才是合理的，这就是数据处理的原则，即最小二乘原理。VV=V12+V22+V32+Vn2=minPVV=P1V12+P2V22+P3V32+PnVn2=minL=L+V平差值观测值改正数,二、直接平差,根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并评定精度的过程，称为直接平差。1.算术平均值设L1,L2,Ln为一组独立观测值，根据最小二乘准则，其最或然值x必须满足：vv=(x-L1)2+(x-L2)2+(x-Ln)2=min求vv对x的一阶和二阶导数：,二、直接平差,这说明，在等精度观测条件下，未知量的最或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是满足最小二乘准则条件下，等精度观测值的最或然值。,二、直接平差,用改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式,二、直接平差,2、加权平均值一列观测值L1，L2，Ln,，其精度值分别为m1,m2,mn，选定一个精度值m,并同时选定一组正数p1,p2,pn，使得下列诸式同时成立：,根据最小二乘准则，应使pvv=min，即：pvv=p1(x-L1)2+p2(x-L2)2+pn(x-Ln)2=min,二、直接平差,这就是不等精度观测时未知量的最或然值，也就是说，不等精度观测值的最或然值是加权平均值。,二、直接平差,用改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式,三、两种基本平差方法,1间接平差,基本思想：1）、选取与观测量有一定关系的未知量作为参数；2）、建立观测量与参数之间的线性函数关系；3）、按最小二乘原理求出参数的最或是数值；4）、求观测量的最或然数值（平差值）并评定精度。参数选择：可以直接观测量；