高等代数与解析几何的综合性问题研究.doc

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：高等代数与解析几何综合性问题的探讨 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类） 年 级 2009级 学生姓名 程江峰 学生学号 200906034131 指导教师 李本秀 完成毕业设计（论文）时间 2013 年 5 月目 录摘 要 IAbstractII1 引言12 高等代数的一些概念的几何解析12.1 行列式的几何意义12.1.1 二阶行列式的几何意义12.1.2 二阶行列式性质的几何意义32.1.3 三阶行列式的几何意义52.2 向量内积的几何解释53 高等代数在解析几何中的运用73.1 行列式在解析几何中的应用73.1.1 用行列式解决三角形面积问题73.1.2 三点共线条件73.1.3 三线共点的条件83.1.4 两向量共线问题93.1.5 三向量共面问题93.1.6 空间两直线相关位置关系的判定113.1.7 行列式在直线一般方程与标准方程互化中的应用113.2 用矩阵解决线面位置关系124 结束语14致谢15参考文献16高等代数与解析几何综合性问题的探讨程江峰（重庆三峡学院 数学与统计学院 数学与应用数学专业2009级 重庆万州 404100）摘 要 在代数与几何的发展过程中，高等代数与解析几何互相联系、互相促进，可归纳为“几何为代数提供直观的背景，代数为几何提供研究方法”.本文将从高等代数的一些基本概念的几何直观解释以及代数知识在解析几何某些问题中的具体应用来阐述两者之间的密切关系.关键词 高等代数； 解析几何； 内积； 行列式； 矩阵IDiscussion of Higher Algebra and analytic geometry synthesis problemsCHENG Jiang-feng(Grade 2009， Mathematics and Applied Mathematics， School of Mathematics and Statistics， Chongqing Three Gorges University， Wanzhou， Chongqing 404100 ) Abstract In the development process algebra and geometry， higher algebra and analytic geometry mutual connection， promote each other， can be summarized as geometry provides intuitive background for the algebra， algebraic geometry provides research method.This paper will interpret the close relationship between Advanced Algebra and Analytic Geometry from the perspective of the direct geometry explanation of some of the conceptual frameworks of Advanced Algebra and the specific application of Algebra in solving some of the Analytic Geometry problemsKeywords higher algebra; analytic geometry; inner product ; determinantI2009届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 引言从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的.它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”.通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系.运用解析几何来分析高等代数更加的直观.同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽.比如说通过解析几何中的多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使得行列式有了几何意义，同时使行列式直观化.也使通过行列式多元方程组的解答更便捷、快速.在高等代数中先后提出了线性空间、欧式空间.线性空间将向量做了推广，使向量抽象化.欧式空间在线性空间的基础上提出了内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化等等.总体来说解析几何就是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广化并使之抽象化.2 高等代数的一些概念的几何解析2.1 行列式的几何意义2.1.1 二阶行列式的几何意义 二阶行列式是平面上以行向量和为邻边的平行四边形的有向面积.若这个平行四边形是由向量沿逆时针方向转到而得到的，面积取正值；若这个平行四边形是由向量沿顺时针方向转到而得到的，面积取负值.第 1 页 共 16 页如图（2.1）所示，以为邻边的平行四边形的面积为：此处：，为向量，之间的夹角. 由上式整理得到：又因为因此得故可得出二阶行列式的几何意义.又因为所以二阶行列式的另一个几何意义就是两个行向量或列向量的叉积的数值.2.1.2 二阶行列式性质的几何意义性质 2.1 ，为实数.这个性质是说，一个实数乘以行列式等于一个行向量乘以这个实数的行列式.几何解释就是：两个行向量，所张成的平行四边形的有向面积的倍等于这样两个向量，所张成的平行四边形的有向面积，也就是 .通过图（2.2）可直观的了解几何解释.图中，可以看作以为底的平行四边形的面积，是以为底的平行四边形的面积，高相同.因此，向量变化了倍，面积也变化了倍.性质 2.2 对于三个向量，向量张成的平行四边形有向面积与向量张成的有向面积之和等于向量张成的平行四边形有向面积.即有：如图（2.3）和图（2.4）所示：性质 2.3 由二阶行列式的几何意义可知行列式是以行向量，为邻边的平行四边形的有向面积.又因为所以有，即向量共线或平行，故.几何意义 把成比例的两个向量的始端都移动到原点，则两向量会在同一直线上，显然所围成的平行四边形面积为零，即，因此行列式为零.如果两个向量相等，行列式的值也为零.2.1.3 三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义是可以表示以它的第列为坐标的三个向量张成的平行六面体的有向体积.三阶行列式的几何意义由二阶行列式推导而来.如图（2.5）由两个向量张成的平行四边形为，面积为构成的行列式.那么沿着第三个方向生成无数个平行于四边形的新的平行四边形，一直到的末端.我们可以把所有的平行四边形组成的图形看成一个以向量为棱的平行六面体，所有的平行四边形的面积叠加起来就是平行六面体的体积.我们可以引用混合积这个概念来表示.向量的混合积2.2 向量内积的几何解释 向量的内积也叫数量积、点积等，内积的结果是个数量而不是向量.内积的定义有两个，我们把他们列举出来并探讨一下它们的关系. ，其中 ，其中 由公式可知，两个向量的内积等于两个向量的模之积再乘以它们之间夹角的余弦；由公式可知，两个向量的内积等于两个向量坐标分量分别对应乘积的和.我们可以运用公式来求向量的模： 假设我们选定一个坐标系，轴沿着向量的方向，那么就有，则由公式可以得到： 就是向量的模乘以在方向上的分量，这个分量我们叫做向量在向量上的投影，因此公式得证.（如图2.6）因此，向量的内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积.由此我们可以推断出两向量方向相同时内积最大;两向量垂直时内积为零;两向量方向相反时内积最小，其数值为最大内积的相反数.3 高等代数在解析几何中的运用3.1 行列式在解析几何中的应用3.1.1 用行列式解决三角形面积问题定理3.1 已知的个顶点分别为，则的面积为：的绝对值 证明 在平面内，已知点，构成一个三角形（见图3.1），即，求的面积.过，各作轴的垂线，(见图3.1)，由图可知： 最后一个表达式刚好是一个三阶行列式的展开式，即的绝对值上式就是以行列式表示的三角形面积.3.1.2 三点共线条件定理 3.2 平面上个点分别为，则三点共线的充要条件为： 此定理由定理3.1可证明，如果三点共线则三点组成的三角形面积就为.推论3.1 过平面上两点，的直线方程为证明 已知两点，要求过这两个点的方程，只须在此直线上设一动点，因为在一条直线上，根据定理3.2可得3.1.3 三线共点的条件定理3.3 三条直线，共点的必要条件是三条直线方程所组成的方程组其系数行列式等于零，即：证明 因为与的交点坐标可由解出，如果与共点，则与的交点坐标必能满足的方程，所以，即：上式就是三条互不平行的直线相交于一点的必要条件，即就是三线共点的必要条件.3.1.4 两向量共线问题定理3.4 设为两不共线的向量，证明向量，共线的充要条件是证明 由于两向量共线的充要条件是存在不全为零的数使即整理得 因为为两不共线的向量，也就是说两向量线性无关.所以又因为不全为零，即这两个方程线性相关则其系数行列式从而的向量共线的充要条件是.3.1.5 三向量共面问题定理3.5 三向量共面的充要条件是.证明 我们来探讨一下三向量的混合积表示方法由于根据数量积的坐标表示法，得 通过混合积我们知道三向量的混合积最终可以表示成一个行列式，如果要说明三向量共面，那么我们只需要证明它们坐标构成的行列式的值为零即可.由于三向量共面的充要条件是存在不全为零的数使得可得 整理得 由此可得因为不全为零，视如关于的三元一次方程组有解其系数行列式即：三向量共面的充要条件是3.1.6 空间两直线相关位置关系的判定空间两直线的位置关系有异面与共面，而在共面中又有相交、平行、重合三种情况.设两直线这里的直线是由点与向量决定的，是由点与向量决定的.空间两直线的相关位置有以下几种情况：（1） 异面（2） 共面 相交 平行 重合 3.1.7 行列式在直线一般方程与标准方程互化中的应用设两个平面的交线的方程为且，即方程组得系数行列式不全为零，我们令为直线上一点，则就是直线的一个方向向量，于是得直线的标准方程为.例3.1 化直线的一般方程为标准方程.解 因为直线的方向向量为设，解得，那么为直线上一点，所以直线的标准方程为3.2 用矩阵解决线面位置关系直线和平面有三种位置关系：相交、平行、直线在平面上.利用代数方法来刻画这三种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大的简化.定理3.6 直线 其中,与平面的位置关系：(1) 相交(2) 平行(3) 直线在平面上.这里 ，. 证明 直线与平面的位置关系取决于线性方程组的解的情况.记这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为与，则，.(1) 当时，只有一种情况.此时线性方程组有唯一解.这表明直线与平面相交.(2) 当时，有两种情况：情况 ，此时线性方程组无解，即直线与平面无交点，这表明直线与平面平行.情况 ，此时线性方程组有无数多个解，即直线与平面有无穷多个交点.这表明直线在平面上.例3.2 判别直线与平面的相关位置.解 所以，根据定理3.6可知直线在平面上例3.3 求过点而与直线和平行的平面方程.解 因为所求平面过点，设所求平面的法向量则根据平面的直线方程得即.因为平面与直线平行，我们根据定理3.6可知线性方程组无解.即，又因为由，得，. 又因为平面与直线平行，根据定理2.3可知线性方程组无解.即，.得，. 与联立得，解方程组得：.故所求平面方程为.4 结束语由本文所研究的内容足以看出高等代数与解析几何是相互联系，相互促进的.一方面，某些代数问题可转化成几何问题来求解.但由于一个代数问题能用几何方法来解的前提是它具有几何意义，因此分析和寻找一个代数问题的几何意义，就成了能否将其转化为几何问题来解的关键.那如何分析和寻找一个代数问题的几何意义呢？这就要求我们首先要具有从几何上观察、分析与思考问题的意识，这一点很重要，因为否则你根本不会往几何方面去想；其次要熟悉各种常见曲线的方程及各种常见的几何量和几何关系的代数表示式.另一方面，高等代数知识特别是是行列式和矩阵.在解析几何中的应用非常广泛，在很多情况下解析几何中的问题借助行列式和矩阵将问题大大简化.与此同时还能培养我们思考问题的思维习惯，增强思维的灵活性，开拓解题思路，提高解题能力.总体来说高等代数与解析几何是相互联系相互促进的.致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了.尤其要强烈感谢我的论文指导老师李本秀老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进.另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助.在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢!感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正.参考文献1吕林根，许子道.解析几何M . 北京 :高等教育出版社.2王仁发 .高等代数与解析几何M . 北京 :高等教育出版社.3陈志杰. 高等代数与解析几何M . 北京: 高等教育出版社.4张敏 .高