热统第七八章作业

7.1 试根据公式证明，对于非相对论粒子, 有上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为, （1）为书写简便起见，我们将上式简记为 （2）其中是系统的体积，常量，并以单一指标代表三个量子数. 由式（2）可得 （3）代入压强公式，有 （4）式中是系统的内能.上述证明示涉及分布的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 前面我们利用粒子能量本征值对体积V的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪统计物理学导论6.2式（8）和6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）. 需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能. 7.2 试根据公式证明，对于相对论粒子, 有上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为 （1）用指标表示量子数表示系统的体积，可将上式简记为 （2）其中由此可得 （3）代入压强公式，得 （4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率 解: 参照式（7.3.7）（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为 （1）速率分布为 （2）平均速率为 （3）速率平方的平均值为因此方均根速率为 （4）最概然速率条件确定. 由此可得 （5）值得注意，上述三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在到中的分子数分别与速度空间的体积元和成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为其中是常量，求粒子的平均能量.解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式中和两面三刀项都是的函数，不能直接将能量均分定理用于项而得出的结论. 要通过配方将表达为 （1）在式（1）中，仅第四项是的函数，又是平方项. 由能量均分定理知 （2）7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵. 解: 将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动. 以表示振动的圆频率，振动能级为 （1）振动配分函数为 （2）双原子理想气体的熵为 （3）其中是振动的特征温度.7.20 试求爱因斯坦固体的熵. 解: 根据式（7.7.2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚. 解: 如8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度，气体的化学势将趋于-0. 在时将有宏观量级的粒子凝聚在的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度由条件 （1）确定. 将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4）代入式（1），得 （2）二维理想玻色气体的凝聚温度由式（2）确定. 令，上式可改写为 （3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有则 （4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.7 计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在到的圆频率范围内光子的量子态数为 （1）温度为T时平均光子数为 （2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为 （3）引入变量，上式可表示为或 （3）在1000K下，有在3K下，有8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度 计算6000K和1000K时的值. 解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在到，动量方向在到到范围内，平衡辐射的光子数为 （1）其中已利用式（8.4.2）将动量为的光子能量表示为cp，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的. 以dA表示法线方向沿z轴的器壁的面积元. 以表示在dt时间内碰到dA面积上，动量大小在到，方向在到到范围的光子数. 它等于以dA为底，以为高，动量在范围内的光子数. 因此单位时间（）内，碰到单位面积的器壁上（或穿过单位面积），动量在范围内的光子所携带的能量为 （2）对式（2）积分，从0到从0到从0到，即得到辐射动量密度为令，上式可表示为或 （3）在6000K，有在1000K，有8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率. 解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为 （1）其中是费米动量，即0 K时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为 （2）因此电子的平均速率为 （3）8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压. 解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为根据习题6.4式（2），在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为 （1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2. 0 K下自由电子气体的分布为 （2）费米能量由下式确定：故 （3） 0 K下电子气体的内能为 （4） 根据习题7.2式（4），电子气体的压强为 （5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为 试求0 K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压. 解: 根据6.3题式（4），在面积A内，在到的能量范围内，二维自由电子的量子态数为 （1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个