2010-2011学年高中数学第2章数列等差数列同步精品学案新人教A版必修

2.2等差数列对点讲练一、等差数列的通项公式例1若an是等差数列，a158，a6020，求a75.解设an的公差为d.方法一由题意知解得所以a75a174d7424.方法二因为a60a15(6015)d，所以d，所以a75a60(7560)d201524.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式anam(nm)d求解变式训练1在等差数列an中，已知amn，anm，求amn的值解方法一设公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a，b为常数)，则得a1，bmn.所以amna(mn)b0.二、等差数列的性质例2已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1a4a715，a2a4a645直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1a7a2a62a4问题就简单了变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三、等差数列的判断例3已知数列an满足a14，an4 (n2)，令bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式分析计算bn1bn常数，然后求出bn，最后再由an与bn的关系求出an.(1)证明an4 (n2)，an14 (nN*)bn1bn.bn1bn，nN*.bn是等差数列，首项为，公差为.(2)解b1，d.bnb1(n1)d(n1).，an2.总结判断一个数列an是否是等差数列，关键是看an1an是否是一个与n无关的常数变式训练3若，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列证明，是等差数列，.(ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc)(ca)(ac2b)2(ab)(bc)2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2a2c22b2，a2，b2，c2成等差数列课堂小结：1证明数列an为等差数列的方法(1)定义法：an1and (d为常数，n1)an为等差数列或anan1d (d为常数，n2)an为等差数列(2)等差中项法：2an1anan2an是等差数列(3)通项法：anpnq (p、qR)an是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说an是等差数列2三个数成等差数列可设为：ad，a，ad或a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d或a，ad，a2d，a3d.课时作业一、选择题1在等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值为()A24 B22 C20 D8答案A2已知等差数列an中，a29，则an为()A14n3 B16n4C15n39 D15n8答案C 解析a29，a3(9)6，da3a215，ana2(n2)d9(n2)1515n39.3等差数列an的公差d0，且a2a412，a2a48，则数列an的通项公式是()Aan2n2 (nN*) Ban2n4 (nN*)Can2n12 (nN*) Dan2n10 (nN*)答案D解析由所以ana1(n1)d，即an8(n1)(2)，得an2n10.4等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8等于()A45 B75 C180 D300答案C解析方法一设an首项为a1，公差为d，a3a4a5a6a7a12da13da14da15da16d5a120d即5a120d450，a14d90，a2a8a1da17d2a18d180.方法二a3a7a4a62a5a2a8，a3a4a5a6a7(a2a8)450，a2a8180.5一个等差数列的首项为a11，末项an41 (n3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是()A6 B7 C8 D不确定答案B解析由ana1(n1)d，得411(n1)d，d为整数则n3,5,6,9,11,21,41共7个二、填空题6若mn，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差分别为d1和d2，则的值为_答案解析nm3d1，d1(nm)又nm4d2，d2(nm).7已知是等差数列，且a46，a64，则a10_.答案解析2d，即d.所以4d，所以a10.8已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_.答案解析由题意设这4个根为，d，2d，3d.则2，d，这4个根依次为，n，m或n，m，|mn|.三、解答题9等差数列an的公差d0，试比较a4a9与a6a7的大小解设ana1(n1)d，则a4a9a6a7(a13d)(a18d)(a15d)(a16d)(a11a1d24d2)(a11da130d2)6d20，所以a4a91，nN*时，有，设bn，nN*.(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由(1)证明当n1，nN*时，224bnbn1