高考真题：函数与导数解答题(文科)教师版

高考真题：函数与导数解答题（文科）教师版1设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点， ，求的取值范围.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）试题解析：（1）当时， ，故其对称轴为.当时， .当时， .当时， .综上， （2）设为方程的解，且，则.由于，因此.当时， ，由于和，所以.当时， ，由于和，所以.综上可知， 的取值范围是.考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.视频2（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数的零点的个数；（）证明：当时.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标带解析）试题解析：（） 的定义域为， .当时, ， 没有零点；当时，因为单调递增， 单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时， ,故当时， 存在唯一零点.（）由（），可设在的唯一零点为，当时， ;当时， .故在单调递减，在单调递增，所以当时， 取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时， .3设函数， ，其中.（）求的单调区间；（）若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）试题解析：（）解：由，可得，下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得或.当变化时， ， 的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为， .（）证明：因为存在极值点，所以由（）知且.由题意，得，即，进而，又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（）证明：设在区间上的最大值为， 表示， 两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当时， ，由（） 知， 在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此， 所以.（2）当时， ，由（）和（） 知， ，所以在区间上的取值范围为，因此M= .（3）当时， ，由（）和（）知， ，所以在区间上的取值范围为，因此， .综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.2.由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为（或）恒成立问题，要注意“”是否可以取到视频4设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（）求证： 是有三个不同零点的必要而不充分条件.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）试题解析：（）由，得因为， ，所以曲线在点处的切线方程为（）当时， ，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在， ，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（）当时， ， ，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时， 只有一个零点，记作当时， ， 在区间上单调递增；当时， ， 在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当， 时， ， 只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件5设函数（）讨论的单调性；（）证明当时，；（）设，证明当时，.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）试题解析：（）由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.（）由（）知，在处取得最大值，最大值为.所以当时，.故当时，即. （）由题设，设，则，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 由（）知，故，又，故当时，.所以当时，.6已知函数.（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）试题解析：（） （）设，则当时， ；当时， .所以f（x）在单调递减，在单调递增.（）设，由得x=1或x=ln（-2a）.若，则，所以在单调递增.若，则ln（-2a）1,故当时， ；当时， ，所以在单调递增，在单调递减.若，则，故当时， ，当时， ，所以在单调递增，在单调递减.（）（）设，则由（）知， 在单调递减，在单调递增.又，取b满足b0且，则，所以有两个零点.（）设a=0，则，所以只有一个零点.（iii）设a0，若，则由（）知， 在单调递增.又当时， 0，故不存在两个零点；若，则由（）知， 在单调递减，在单调递增.又当时0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.7已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).（I）当a=4时，求曲线y=f(x)在1,f(1)处的切线方程；（）若当x1,+时，f(x)0，求a的取值范围.试题解析：（I）f(x)的定义域为(0,+).当a=4时，f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f(x)=lnx+1x-3，f(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.（II）当x(1,+)时，f(x)0等价于lnx-a(x-1)x+10.设g(x)=lnx-a(x-1)x+1，则g(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0，（i）当a2，x(1,+)时，x2+2(1-a)x+1x2-2x+10，故g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递增，因此g(x)0；（ii）当a2时，令g(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x21和x1x2=1得x11，故当x(1,x2)时，g(x)0，g(x)在(1,x2)单调递减，因此g(x)0.综上，a的取值范围是(-,2.8已知函数f(x)=excosx-x（）求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）试题解析：（）因为f(x)=excosx-x，所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.（）设h(x)=ex(cosx-sinx)-1，则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x(0,2)时，h(x)0，所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x(0,2有h(x)h(0)=0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间0,2上单调递减.因此f(x)在区间0,2上的最大值为f(0)=1，最小值为f(2)=-2.9已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,z.x.x.k讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）试题解析：（）由题意，所以，当时， ， ，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（）因为，所以，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时， ；当时， .（1）当时， ，当时， ， ， 单调递增；当时， ， ， 单调递减；当时， ， ， 单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.（2）当时， ，当时， ， 单调递增；所以在上单调递增， 无极大值也无极小值.（3）当时， ，当时， ， ， 单调递增；当时， ， ， 单调递减；当时， ， ， 单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.10设a,bR，|a|1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，g(x)=exf(x).（）求f(x)的单调区间；（）已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f(x)在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立，求b的取值范围.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）试题解析：（I）由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a)，令f(x)=0，解得x=a，或x=4-a.由|a|1，得a0，可得f(x)1.又因为f(x0)=1，f(x0)=0，故x0为f(x)的极大值点，由（I）知x0=a.另一方面，由于|a|1，故a+14-a，由（I）知f(x)在(a-1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，故当x0=a时，f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立，从而g(x)ex在x0-1,x0+1上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1，得b=2a3-6a2+1，-1a1.令t(x)=2x3-6x2+1，x-1,1，所以t(x)=6x2-12x，令t(x)=0，解得x=2（舍去），或x=0.因为t(-1)=-7，t(1)=-3，t(0)=1，故t(x)的值域为-7,1.所以，b的取值范围是-7,1.11设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当时， ，求实数的取值范围.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.（II）.【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a1时， ，满足条件；当时，取，当0a1时，取， .试题解析： 解（1）f (x)=(1-2x-x2)ex令f(x)=0得x=-1- ，x=-1+当x（-，-1-）时，f(x)0；当x（-1-，+）时，f(x)1时，g(x)=0，解得x1=-d2-13，x2=d2-13易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g(-d2-13)=23(d2-1)329+630g(x)的极小值g(x2)=g(d2-13)=23(d2-1)329+63若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若g(x2)27，也就是|d|10，此时|d|x2，g(|d|)=|d|+630,且-2|d|x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+63-6210+631及a1两种情况进行分类讨论，通过研究f(x)的变化情况可得f(x)取得极值的可能，进而可求参数a的取值范围.详解：解：（）因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex，所以f(x)=ax2-(a+1)x+1ex.f(2)=(2a-1)e2，由题设知f(2)=0，即(2a-1)e2=0，解得a=12.（）方法一：由（）得f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若a1，则当x(1a,1)时，f(x)0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a1，则当x(0,1)时，ax-1x-10.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1,+).方法二：f(x)=(ax-1)(x-1)ex.（1）当a=0时，令f(x)=0得x=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1)1(1,+)f(x)+0f(x)极大值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令f(x)=0得x1=1a,x2=1.当x1=x2，即a=1时，f(x)=(x-1)2ex0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值，不合题意.当x1x2，即0a1时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1)1(1,1a)1a(1a,+)f(x)+00+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.当x11时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1a)1a(1a,1)1(1,+)f(x)+00+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a0时，令f(x)=0得x1=1a,x2=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1a)1a(1a,1)1(1,+)f(x)0+0f(x)极小值极大值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,+).点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；利用导数求函数的极值最值问题；关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.15（2018年新课标I卷文）已知函数fx=aex-lnx-1（1）设x=2是fx的极值点求a，并求fx的单调区间；（2）证明：当a1e时，fx0【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）详解：（1）f（x）的定义域为(0，+)，f （x）=aex1x由题设知，f （2）=0，所以a=12e2从而f（x）=12e2ex-lnx-1，f （x）=12e2ex-1x当0x2时，f （x）2时，f （x）0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当a1e时，f（x）exe-lnx-1设g（x）=exe-lnx-1，则g(x)=exe-1x 当0x1时，g（x）1时，g（x）0所以x=1是g（x）的最小值点故当x0时，g（x）g（1）=0因此，当a1e时，f(x)0点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.16（2018年全国卷文）已知函数f(x)=ax2+x-1ex（1）求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；（2）证明：当a1时，f(x)+e0【来源】2018年全国卷文数高考试题文档版详解：（1）f(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex，f(0)=2因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0（2）当a1时，f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x令g(x)x2+x-1+ex+1，则g(x)2x+1+ex+1当x-1时，g(x)-1时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x) g(-1)=0因此f(x)+e0点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当a1时，fx+e（ex+1+x2+x-1）e-x,令gx=ex+1+x2+x-1，将问题转化为证明gx0很关键，本题难度较大。17（题文）已知函数fx=13x3-ax2+x+1（1）若a=3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x